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Hoover-Ungleichverteilung

Die Hoover-Ungleichverteilung ist das einfachste aller Ungleichverteilungsmaße. Sie beschreibt die relative Abweichung vom Mittelwert. Sie ist „direkt“, weil sie zum Beispiel bei einer Ungleichverteilung von Geld einfach den Anteil des gesamten Geldes beschreibt, der umverteilt werden müsste, um aus einer Ungleichverteilung eine Gleichverteilung zu machen. Andere Bezeichnungen für die Hoover-Ungleichverteilung sind Hoover-Koeffizient, Hoover-Index, Balassa-Hoover-Index, Hoover concentration index und Segregations- und Dissimilaritätsindex.

Rechenbeispiel Bearbeiten

Die Hoover-Ungleichverteilung lässt sich – wie der Gini-Koeffizient – für Einkommensverteilungen, für Vermögensverteilungen und andere Verteilungen berechnen. Wie man die Hoover-Ungleichverteilung berechnet, zeigt das folgende Beispiel anhand der Verteilung eines „Gesamtvermögens“ von etwa 10 Billionen Deutschen Mark in Deutschland (1995): 

50 Prozent der Bevölkerung (A1) besaß 2,5 Prozent des Vermögens (E1). 40 Prozent der Bevölkerung (A2) besaß 47,5 Prozent des Vermögens (E2). 9 Prozent der Bevölkerung (A3) besaß 27,0 Prozent des Vermögens (E3). 1 Prozent der Bevölkerung (A4) besaß 23,0 Prozent des Vermögens (E4).

In einem ersten Schritt werden die Daten „normalisiert“ dargestellt (Egesamt=Agesamt=1): 

A1 = 0,50 E1 = 0,025 A2 = 0,40 E2 = 0,475 A3 = 0,09 E3 = 0,270 A4 = 0,01 E4 = 0,230

Im zweiten Schritt werden die absoluten Differenzen aufsummiert: 

abs(E1 - A1) = 0,475 abs(E2 - A2) = 0,075 abs(E3 - A3) = 0,180 abs(E4 - A4) = 0,220    Summe = 0,950

Die Hälfte der Summe ist die Hoover Ungleichverteilung: 

Hoover Ungleichverteilung: Summe/2 = 0,475 = 47,5 %

Andere Ungleichverteilungsmaße „interpretieren“ Ungleichverteilungen. Ein Beispiel sind einige Entropie­maße (z. B. nach Theil, Atkinson, Kullback und Leibler usw.), die Bezug zu Gleichverteilungen von Zustandsgrößen in der statistischen Physik nehmen. Der Hoover-Koeffizient ist dagegen sehr einfach zu verstehen und zu berechnen. Er beschreibt direkt den Anteil einer ungleichverteilten Ressource, der umverteilt werden müsste, sollte eine Gleichverteilung dieser Ressource erzielt werden. Im Beispiel hätten also 47,5 % des Vermögens umverteilt werden müssen, wenn Alle gleich viel hätten besitzen sollen. (Die Ungleichverteilung innerhalb der vier durch Quantile mit unterschiedlichem Abstand abgegrenzten Bereiche mit unterschiedlicher Breite wäre dabei allerdings unberücksichtigt geblieben.)

Der Wertebereich dieses relativen Ungleichsverteilungsmaßes liegt zwischen 0 und 1 (bzw. zwischen 0 % und 100 %). Die Hoover-Ungleichverteilung gehört in die Gruppe der Konzentrationsmaße.

Formel Bearbeiten

Die vollständige Formel der Hoover-Ungleichverteilung lautet:

In der Formel wird eine Notation verwendet, in der die Anzahl der mit Quantilen (mit gleichem oder unterschiedlichen Abstand) abgegrenzten Bereiche (mit gleicher oder unterschiedlicher Breite) in den Formeln nur als obere Grenze der Summenbildung erscheint. Damit können auch Ungleichverteilungen berechnet werden, bei denen die Bereiche eine unterschiedliche Breite haben: sei das Einkommen im i-ten Bereich und sei die Anzahl (oder der prozentuale Anteil) der Einkommensbezieher im i-ten Bereich. sei die Summe der Einkommen aller N Bereiche und sei die Summe der Einkommensbezieher aller N Bereiche (oder 100 %). (Natürlich sind auch andere Zuordnungen möglich: Beispielsweise kann auch Vermögen repräsentieren. Oder steht für eine Art von Molekülen in einem Gemisch und für eine andere Art von Molekülen.)

In der Hoover-Ungleichverteilung werden die einzelnen Abweichungen von der Parität nur mit ihrem eigenen Vorzeichen (also dem Faktor +1 oder −1) gewichtet. Zum Vergleich betrachte man den symmetrierten Theil-Index . Im Theil-Index werden die einzelnen Abweichungen von der Parität mit ihrem eigenen Informationsgehalt gewichtet:

Anmerkungen Bearbeiten

  1. SPD-Bundestagsfraktion, Bundestagsdrucksache 13/7828 (PDF; 309 kB)
  2. Die Notation mit E und A folgt der Notation einer kleinen Formelsammlung von Lionnel Maugis: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (für IFORS 96), 1996
  3. Die Hoover-Ungleichverteilung ist mit dem symmetrierten Theil-Index verwandt: Der symmetrierte Theil-Index ist die nicht-interpretative Ungleichverteilung gewichtet mit dem Informationsgehalt dieser Ungleichverteilung. Die Hoover-Ungleichverteilung ist eine reine nicht-interpretative Ungleichverteilung.

Literatur Bearbeiten

  • Edgar Malone Hoover jr.: The Measurement of Industrial Localization, Review of Economics and Statistics, 1936, Vol. 18, No. 162–171
  • Edgar Malone Hoover jr.: An Introduction to Regional Economics, 1984, ISBN 0075544407
  • Philip B. Coulter: Measuring Inequality, 1989, ISBN 0-8133-7726-9 (In diesem Buch werden etwa 50 Ungleichverteilungsmaße beschrieben.)

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Artikel Hoover Ungleichverteilung und Robin Hood Index uberschneiden sich thematisch Informationen die du hier suchst konnen sich also auch im anderen Artikel befinden Gerne kannst du dich an der betreffenden Redundanzdiskussion beteiligen oder direkt dabei helfen die Artikel zusammenzufuhren oder besser voneinander abzugrenzen Anleitung Die Hoover Ungleichverteilung ist das einfachste aller Ungleichverteilungsmasse Sie beschreibt die relative Abweichung vom Mittelwert Sie ist direkt weil sie zum Beispiel bei einer Ungleichverteilung von Geld einfach den Anteil des gesamten Geldes beschreibt der umverteilt werden musste um aus einer Ungleichverteilung eine Gleichverteilung zu machen Andere Bezeichnungen fur die Hoover Ungleichverteilung sind Hoover Koeffizient Hoover Index Balassa Hoover Index Hoover concentration index und Segregations und Dissimilaritatsindex Inhaltsverzeichnis 1 Rechenbeispiel 2 Formel 3 Anmerkungen 4 Literatur 5 Siehe auch 6 WeblinksRechenbeispiel BearbeitenDie Hoover Ungleichverteilung lasst sich wie der Gini Koeffizient fur Einkommensverteilungen fur Vermogensverteilungen und andere Verteilungen berechnen Wie man die Hoover Ungleichverteilung berechnet zeigt das folgende Beispiel anhand der Verteilung eines Gesamtvermogens von etwa 10 Billionen Deutschen Mark in Deutschland 1995 1 50 Prozent der Bevolkerung A1 besass 2 5 Prozent des Vermogens E1 40 Prozent der Bevolkerung A2 besass 47 5 Prozent des Vermogens E2 9 Prozent der Bevolkerung A3 besass 27 0 Prozent des Vermogens E3 1 Prozent der Bevolkerung A4 besass 23 0 Prozent des Vermogens E4 In einem ersten Schritt werden die Daten normalisiert dargestellt Egesamt Agesamt 1 A1 0 50 E1 0 025 A2 0 40 E2 0 475 A3 0 09 E3 0 270 A4 0 01 E4 0 230 Im zweiten Schritt werden die absoluten Differenzen aufsummiert abs E1 A1 0 475 abs E2 A2 0 075 abs E3 A3 0 180 abs E4 A4 0 220 Summe 0 950 Die Halfte der Summe ist die Hoover Ungleichverteilung Hoover Ungleichverteilung Summe 2 0 475 47 5 Andere Ungleichverteilungsmasse interpretieren Ungleichverteilungen Ein Beispiel sind einige Entropie masse z B nach Theil Atkinson Kullback und Leibler usw die Bezug zu Gleichverteilungen von Zustandsgrossen in der statistischen Physik nehmen Der Hoover Koeffizient ist dagegen sehr einfach zu verstehen und zu berechnen Er beschreibt direkt den Anteil einer ungleichverteilten Ressource der umverteilt werden musste sollte eine Gleichverteilung dieser Ressource erzielt werden Im Beispiel hatten also 47 5 des Vermogens umverteilt werden mussen wenn Alle gleich viel hatten besitzen sollen Die Ungleichverteilung innerhalb der vier durch Quantile mit unterschiedlichem Abstand abgegrenzten Bereiche mit unterschiedlicher Breite ware dabei allerdings unberucksichtigt geblieben Der Wertebereich dieses relativen Ungleichsverteilungsmasses liegt zwischen 0 und 1 bzw zwischen 0 und 100 Die Hoover Ungleichverteilung gehort in die Gruppe der Konzentrationsmasse Formel BearbeitenDie vollstandige Formel der Hoover Ungleichverteilung lautet H 1 2 i 1 N E i E gesamt A i A gesamt displaystyle H frac 1 2 sum i 1 N color Blue left color Black frac E i E text gesamt frac A i A text gesamt color Blue right color Black nbsp In der Formel wird eine Notation 2 verwendet in der die Anzahl N displaystyle N nbsp der mit Quantilen mit gleichem oder unterschiedlichen Abstand abgegrenzten Bereiche mit gleicher oder unterschiedlicher Breite in den Formeln nur als obere Grenze der Summenbildung erscheint Damit konnen auch Ungleichverteilungen berechnet werden bei denen die Bereiche eine unterschiedliche Breite A displaystyle A nbsp haben E i displaystyle E i nbsp sei das Einkommen im i ten Bereich und A i displaystyle A i nbsp sei die Anzahl oder der prozentuale Anteil der Einkommensbezieher im i ten Bereich E gesamt displaystyle E text gesamt nbsp sei die Summe der Einkommen aller N Bereiche und A gesamt displaystyle A text gesamt nbsp sei die Summe der Einkommensbezieher aller N Bereiche oder 100 Naturlich sind auch andere Zuordnungen moglich Beispielsweise kann E displaystyle E nbsp auch Vermogen reprasentieren Oder E displaystyle E nbsp steht fur eine Art von Molekulen in einem Gemisch und A displaystyle A nbsp fur eine andere Art von Molekulen In der Hoover Ungleichverteilung werden die einzelnen Abweichungen von der Paritat nur mit ihrem eigenen Vorzeichen also dem Faktor 1 oder 1 gewichtet Zum Vergleich 3 betrachte man den symmetrierten Theil Index T s displaystyle T s nbsp Im Theil Index werden die einzelnen Abweichungen von der Paritat mit ihrem eigenen Informationsgehalt gewichtet T s 1 2 i 1 N ln E i A i E i E gesamt A i A gesamt displaystyle T s frac 1 2 sum i 1 N color Blue ln frac E i A i left color Black frac E i E text gesamt frac A i A text gesamt color Blue right color Black nbsp Anmerkungen Bearbeiten SPD Bundestagsfraktion Bundestagsdrucksache 13 7828 PDF 309 kB Die Notation mit E und A folgt der Notation einer kleinen Formelsammlung von Lionnel Maugis Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En Route Capacities fur IFORS 96 1996 Die Hoover Ungleichverteilung ist mit dem symmetrierten Theil Index verwandt Der symmetrierte Theil Index ist die nicht interpretative Ungleichverteilung gewichtet mit dem Informationsgehalt dieser Ungleichverteilung Die Hoover Ungleichverteilung ist eine reine nicht interpretative Ungleichverteilung Literatur BearbeitenEdgar Malone Hoover jr The Measurement of Industrial Localization Review of Economics and Statistics 1936 Vol 18 No 162 171 Edgar Malone Hoover jr An Introduction to Regional Economics 1984 ISBN 0075544407 Philip B Coulter Measuring Inequality 1989 ISBN 0 8133 7726 9 In diesem Buch werden etwa 50 Ungleichverteilungsmasse beschrieben Siehe auch BearbeitenTabellenkalkulation fur den Gini Koeffizienten die Hoover Ungleichverteilung und den Theil Index Theil Index Index der nachhaltigen wirtschaftlichen Wohlfahrt Genuine Progress Indicator Index der menschlichen Entwicklung Wohlfahrtsfunktion Liste der Lander nach Einkommensverteilung Liste der Lander nach VermogensverteilungWeblinks BearbeitenRechner on line und Skripte und Macros zum Herunterladen fur Python Lua und OpenOffice org 2 0 Calc Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hoover Ungleichverteilung amp oldid 212776046