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Gromoll Meyer Sphäre In der Mathematik ist die ein Beispiel einer exotischen Sphäre d h einer nicht zur Standard Differe

Gromoll-Meyer-Sphäre

In der Mathematik ist die Gromoll-Meyer-Sphäre ein Beispiel einer exotischen Sphäre, d. h. einer nicht zur Standard-Differentialstruktur äquivalenten Differentialstruktur auf einer Sphäre. Sie erzeugt die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären und war das erste Beispiel einer exotischen Sphäre mit einer Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung.

Geschichte Bearbeiten

Eine exotische Sphäre ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Einheitssphäre im ist. John Milnor fand 1956 die ersten Beispiele exotischer Sphären, die er als -Bündel über konstruierte. Er bewies, dass es auf der 7-dimensionalen Sphäre 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt und dass die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären modulo h-Kobordismus isomorph zu

ist. Die -Bündel über (sogenannte Milnor-Sphären) entsprechen dabei den 21 Elementen

wobei das Bündel mit Euler-Zahl und Pontrjagin-Zahl dem Element

in entspricht. Egbert Brieskorn zeigte 1966, dass sich die Milnor-Sphären auch als Verschlingungen von Singularitäten von Hyperflächen im beschreiben lassen, nämlich als Schnitt der Hyperfläche

mit einer kleinen Sphäre um den Nullpunkt. Gromoll and Meyer gaben 1974 eine Konstruktion des Erzeugers (d. h. des entsprechenden Elements der Gruppe der Homotopiesphären) als Biquotient der Gruppe

und fanden damit insbesondere das erste Beispiel einer Riemannschen Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung auf einer exotischen Sphäre. Grove und Ziller bewiesen 2000, dass auch die anderen Milnor-Sphären eine Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung haben. Duran, Püttmann und Rigas gaben 2010 eine aus der Gromoll-Meyer-Konstruktion abgeleitete Konstruktion aller exotischen 7-Sphären.

Konstruktion Bearbeiten

Es sei die kompakte symplektische Gruppe, d. h. die Gruppe der das kanonische Skalarprodukt auf dem 2-dimensionalen quaternionischen Vektorraum erhaltenden -linearen Abbildungen, und es sei die Gruppe der Quaternionen von Norm . Dann wirkt auf durch

Diese Wirkung ist frei mit Quotient . Insbesondere wirkt die Diagonale

frei auf und Gromoll und Meyer bewiesen, dass der Quotient diffeomorph zur Milnor-Sphäre mit ist.

Aus der O’Neill-Formel folgt, dass nichtnegative Schnittkrümmung und positive Ricci-Krümmung hat. Man kann die Metrik so deformieren, dass die Schnittkrümmung fast überall positiv wird.

Literatur Bearbeiten

  • John Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. In: Ann. of Math. 2. Band 64, 1956, S. 399–405. (pdf)
  • Detlef Gromoll, Wolfgang Meyer: An exotic sphere with nonnegative sectional curvature. In: Ann. of Math. 2. Band 100, 1974, S. 401–406. (pdf)
  • Karsten Grove, Wolfgang Ziller: Curvature and symmetry of Milnor spheres. In: Ann. of Math. 2. Band 152, no. 1, 2000, S. 331–367. (pdf)
  • Carlos Durán, Thomas Püttmann, A. Rigas: An infinite family of Gromoll-Meyer spheres. In: Arch. Math. (Basel). Band 95, no. 3, 2010, S. 269–282. (pdf)

Weblinks Bearbeiten

  • M. Joachim, D. J. Wraith: Exotic spheres and curvature. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 45, no. 4, 2008, S. 595–616. (pdf)
  • Exotic Spheres (Manifold Atlas)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Gromoll Meyer Sphare ein Beispiel einer exotischen Sphare d h einer nicht zur Standard Differentialstruktur aquivalenten Differentialstruktur auf einer Sphare Sie erzeugt die Gruppe der 7 dimensionalen Homotopiespharen und war das erste Beispiel einer exotischen Sphare mit einer Metrik nichtnegativer Schnittkrummung Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Konstruktion 3 Literatur 4 WeblinksGeschichte BearbeitenEine exotische Sphare ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit die homoomorph aber nicht diffeomorph zur Einheitssphare im R n displaystyle mathbb R n nbsp ist John Milnor fand 1956 die ersten Beispiele exotischer Spharen die er als S 3 displaystyle S 3 nbsp Bundel uber S 4 displaystyle S 4 nbsp konstruierte Er bewies dass es auf der 7 dimensionalen Sphare 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt und dass die Gruppe der 7 dimensionalen Homotopiespharen modulo h Kobordismus isomorph zu Z 28 Z displaystyle mathbb Z 28 mathbb Z nbsp ist Die S 3 displaystyle S 3 nbsp Bundel uber S 4 displaystyle S 4 nbsp sogenannte Milnor Spharen entsprechen dabei den 21 Elementen 0 1 10 18 28 displaystyle left 0 1 ldots 10 18 ldots 28 right nbsp wobei das Bundel mit Euler Zahl 1 displaystyle 1 nbsp und Pontrjagin Zahl 8 k 2 displaystyle 8k 2 nbsp dem Element k mod 28 displaystyle k mod 28 nbsp in Z 28 Z displaystyle mathbb Z 28 mathbb Z nbsp entspricht Egbert Brieskorn zeigte 1966 dass sich die Milnor Spharen auch als Verschlingungen von Singularitaten von Hyperflachen im C 5 displaystyle mathbb C 5 nbsp beschreiben lassen namlich als Schnitt der Hyperflache a 2 b 2 c 2 d 3 e 6 k 1 0 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 3 e 6k 1 0 nbsp mit einer kleinen Sphare um den Nullpunkt Gromoll and Meyer gaben 1974 eine Konstruktion des Erzeugers d h des k 1 displaystyle k 1 nbsp entsprechenden Elements der Gruppe der Homotopiespharen als Biquotient der Gruppe S p 2 displaystyle Sp 2 nbsp und fanden damit insbesondere das erste Beispiel einer Riemannschen Metrik nichtnegativer Schnittkrummung auf einer exotischen Sphare Grove und Ziller bewiesen 2000 dass auch die anderen Milnor Spharen eine Metrik nichtnegativer Schnittkrummung haben Duran Puttmann und Rigas gaben 2010 eine aus der Gromoll Meyer Konstruktion abgeleitete Konstruktion aller exotischen 7 Spharen Konstruktion BearbeitenEs sei S p 2 displaystyle Sp 2 nbsp die kompakte symplektische Gruppe d h die Gruppe der das kanonische Skalarprodukt auf dem 2 dimensionalen quaternionischen Vektorraum H 2 displaystyle mathbb H 2 nbsp erhaltenden H displaystyle mathbb H nbsp linearen Abbildungen und es sei S p 1 S 3 displaystyle Sp 1 simeq S 3 nbsp die Gruppe der Quaternionen von Norm 1 displaystyle 1 nbsp Dann wirkt S p 1 S p 1 displaystyle Sp 1 times Sp 1 nbsp auf S p 2 displaystyle Sp 2 nbsp durch q 1 q 2 Q q 1 0 0 q 1 Q q 2 0 0 1 displaystyle q 1 q 2 circ Q begin pmatrix q 1 amp 0 0 amp q 1 end pmatrix Q begin pmatrix overline q 2 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp Diese Wirkung ist frei mit Quotient S 4 displaystyle S 4 nbsp Insbesondere wirkt die Diagonale D q q S p 1 S p 1 displaystyle Delta left q q in Sp 1 times Sp 1 right nbsp frei auf S p 2 displaystyle Sp 2 nbsp und Gromoll und Meyer bewiesen dass der Quotient D S p 2 displaystyle Delta backslash Sp 2 nbsp diffeomorph zur Milnor Sphare mit k 1 displaystyle k 1 nbsp ist Aus der O Neill Formel folgt dass D S p 2 displaystyle Delta backslash Sp 2 nbsp nichtnegative Schnittkrummung und positive Ricci Krummung hat Man kann die Metrik so deformieren dass die Schnittkrummung fast uberall positiv wird Literatur BearbeitenJohn Milnor On manifolds homeomorphic to the 7 sphere In Ann of Math 2 Band 64 1956 S 399 405 pdf Detlef Gromoll Wolfgang Meyer An exotic sphere with nonnegative sectional curvature In Ann of Math 2 Band 100 1974 S 401 406 pdf Karsten Grove Wolfgang Ziller Curvature and symmetry of Milnor spheres In Ann of Math 2 Band 152 no 1 2000 S 331 367 pdf Carlos Duran Thomas Puttmann A Rigas An infinite family of Gromoll Meyer spheres In Arch Math Basel Band 95 no 3 2010 S 269 282 pdf Weblinks BearbeitenM Joachim D J Wraith Exotic spheres and curvature In Bull Amer Math Soc N S Band 45 no 4 2008 S 595 616 pdf Exotic Spheres Manifold Atlas Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gromoll Meyer Sphare amp oldid 235838827