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Gramsche Determinante Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volu

Gramsche Determinante

Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für nichtquadratische Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), die Ähnliches leisten.

Definition Bearbeiten

Für alle Matrizen mit nennt man die Gramsche Determinante. Es gilt: ist für nie negativ und genau dann , wenn , also wenn die Spalten von linear abhängig sind. Man kann die Gramsche Determinante auch nach dem Satz von Binet-Cauchy als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben.

Gramsche Matrix Bearbeiten

Für sind die Einträge der Matrix die kanonischen Skalarprodukte der Spalten von . Hierzu betrachtet man die folgende Verallgemeinerung:

Sei auf einem -dimensionalen K-Vektorraum mit der Basis eine Bilinearform definiert. Dann nennt man die Matrix

die zur Bilinearform gehörige Gramsche Matrix, bzw. darstellende Matrix der Bilinearform. Letzte wird durch die Einträge der Gram-Matrix vollständig festgelegt. Die Bilinearform ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn symmetrisch und positiv definit ist.

Ist ein Skalarprodukt, eine beliebige Menge von Vektoren aus , so bezeichnet man als die Gram-Matrix von . Eine wichtige Anwendung in diesem Fall ist das Kriterium der linearen Unabhängigkeit: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Gramsche Determinante (Determinante der Gram-Matrix) nicht Null ist. Da die Gramsche Determinante in diesem Falle nichtnegativ ist, kann man aus ihr die Wurzel ziehen und durch

das -dimensionale Volumen des durch aufgespannten Spates erklären.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3.
  • Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage. Vieweg, 2009, ISBN 978-3-528-56508-4.
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Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Mass fur die Volumenanderung ihrer Abbildung definieren Fur nichtquadratische Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten nach Jorgen Pedersen Gram die Ahnliches leisten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Gramsche Matrix 3 Siehe auch 4 LiteraturDefinition BearbeitenFur alle Matrizen A K m n displaystyle A in K m times n nbsp mit m n displaystyle m geq n nbsp nennt man Gram A det A T A displaystyle operatorname Gram A det A T A nbsp die Gramsche Determinante Es gilt Gram A displaystyle operatorname Gram A nbsp ist fur K R displaystyle K mathbb R nbsp nie negativ und genau dann 0 displaystyle 0 nbsp wenn rang A lt n displaystyle operatorname rang A lt n nbsp also wenn die Spalten von A displaystyle A nbsp linear abhangig sind Man kann die Gramsche Determinante auch nach dem Satz von Binet Cauchy als Summe uber das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben Gramsche Matrix BearbeitenFur A R m n displaystyle A in mathbb R m times n nbsp sind die Eintrage der Matrix A T A M displaystyle A T A M nbsp die kanonischen Skalarprodukte der Spalten von A displaystyle A nbsp Hierzu betrachtet man die folgende Verallgemeinerung Sei auf einem n displaystyle n nbsp dimensionalen K Vektorraum V displaystyle V nbsp mit der Basis v 1 v n displaystyle v 1 v n nbsp eine Bilinearform V V K v w v w displaystyle langle cdot cdot rangle colon V times V to K quad v w mapsto langle v w rangle nbsp definiert Dann nennt man die Matrix M v 1 v 1 v 1 v n v n v 1 v n v n displaystyle M begin pmatrix langle v 1 v 1 rangle amp cdots amp langle v 1 v n rangle vdots amp amp vdots langle v n v 1 rangle amp cdots amp langle v n v n rangle end pmatrix nbsp die zur Bilinearform displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp gehorige Gramsche Matrix bzw darstellende Matrix der Bilinearform Letzte wird durch die Eintrage der Gram Matrix vollstandig festgelegt Die Bilinearform displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp ist genau dann ein Skalarprodukt wenn M displaystyle M nbsp symmetrisch und positiv definit ist Ist displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp ein Skalarprodukt v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp eine beliebige Menge von Vektoren aus V displaystyle V nbsp so bezeichnet man M displaystyle M nbsp als die Gram Matrix von v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp Eine wichtige Anwendung in diesem Fall ist das Kriterium der linearen Unabhangigkeit Die Vektoren sind genau dann linear unabhangig wenn ihre Gramsche Determinante Determinante der Gram Matrix nicht Null ist Da die Gramsche Determinante in diesem Falle nichtnegativ ist kann man aus ihr die Wurzel ziehen und durch Vol v 1 v n det M displaystyle operatorname Vol v 1 dotsc v n sqrt det M nbsp das n displaystyle n nbsp dimensionale Volumen des durch v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp aufgespannten Spates erklaren Siehe auch BearbeitenSpatprodukt Doppeltes SpatproduktLiteratur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 13 Auflage Vieweg 2002 ISBN 3 528 97217 3 Albrecht Beutelspacher Lineare Algebra 6 Auflage Vieweg 2009 ISBN 978 3 528 56508 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gramsche Determinante amp oldid 222771154 Gramsche Matrix