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Feiner Graph In der Graphentheorie einem Teilgebiet der Mathematik sind feine Graphen eine Klasse von Graphen mit gewiss

Feiner Graph

In der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind feine Graphen eine Klasse von Graphen mit gewissen lokalen Endlichkeitseigenschaften. Feine Graphen spielen eine Rolle in der geometrischen Gruppentheorie, insbesondere im Zusammenhang mit Hyperbolizität und relativer Hyperbolizität von Graphen und Gruppen.

Farey-Graph

Definition Bearbeiten

Ein Graph heißt fein, wenn er eine (und damit jede) der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Für jede Kante und jedes gibt es nur endlich viele durch verlaufende Kreise der Länge .
  • Für alle Knoten und jedes gibt es nur endlich viele und verbindende Wege ohne sich wiederholende Knoten.
  • Für alle gibt es keine unendliche Menge und verbindender paarweise unabhängiger Wege ohne sich wiederholende Knoten der Länge . (Hierbei heißen zwei Wege unabhängig, wenn sie nur Anfangs- und Endpunkt gemeinsam haben.)
  • Wenn ein Paar unterschiedlicher Knoten und ist und eine kanten-endliche Menge zusammenhängender Teilgraphen von , die alle jeweils Knoten haben und und enthalten, dann muss endlich sein. (Hierbei heißt eine Menge kantenendlich, wenn jede Kante nur in endlich vielen Teilgraphen aus enthalten ist.)
  • Für jeden Knoten ist die Nachbarschaft lokal endlich in . (Das heißt, jeder Knoten in ist in nur zu endlich vielen Knoten aus adjazent.)

Beispiele Bearbeiten

  • Lokal endliche Graphen sind fein.
  • Der Farey-Graph ist fein.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Graphentheorie einem Teilgebiet der Mathematik sind feine Graphen eine Klasse von Graphen mit gewissen lokalen Endlichkeitseigenschaften Feine Graphen spielen eine Rolle in der geometrischen Gruppentheorie insbesondere im Zusammenhang mit Hyperbolizitat und relativer Hyperbolizitat von Graphen und Gruppen Farey GraphDefinition BearbeitenEin Graph K V E displaystyle K V E nbsp heisst fein wenn er eine und damit jede der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt Fur jede Kante e E displaystyle e in E nbsp und jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt es nur endlich viele durch e displaystyle e nbsp verlaufende Kreise der Lange n displaystyle n nbsp Fur alle Knoten x y V displaystyle x y in V nbsp und jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt es nur endlich viele x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp verbindende Wege ohne sich wiederholende Knoten Fur alle x y V n N displaystyle x y in V n in mathbb N nbsp gibt es keine unendliche Menge x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp verbindender paarweise unabhangiger Wege ohne sich wiederholende Knoten der Lange n displaystyle n nbsp Hierbei heissen zwei Wege unabhangig wenn sie nur Anfangs und Endpunkt gemeinsam haben Wenn x y V displaystyle x y in V nbsp ein Paar unterschiedlicher Knoten und n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist und L displaystyle mathcal L nbsp eine kanten endliche Menge zusammenhangender Teilgraphen von K displaystyle K nbsp die alle jeweils n displaystyle n nbsp Knoten haben und x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp enthalten dann muss L displaystyle mathcal L nbsp endlich sein Hierbei heisst eine Menge L displaystyle mathcal L nbsp kantenendlich wenn jede Kante e E displaystyle e in E nbsp nur in endlich vielen Teilgraphen aus L displaystyle mathcal L nbsp enthalten ist Fur jeden Knoten x V displaystyle x in V nbsp ist die Nachbarschaft N K x displaystyle N K x nbsp lokal endlich in K x displaystyle K left x right nbsp Das heisst jeder Knoten in N K x displaystyle N K x nbsp ist in K x displaystyle K left x right nbsp nur zu endlich vielen Knoten aus N K x displaystyle N K x nbsp adjazent Beispiele BearbeitenLokal endliche Graphen sind fein Der Farey Graph ist fein Literatur BearbeitenBrian Bowditch Relatively hyperbolic groups In Internat J Algebra Comput 22 Jahrgang Nr 3 2012 doi 10 1142 S0218196712500166 soton ac uk PDF Abschnitt 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Feiner Graph amp oldid 226169528