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Farey Graph In der Mathematik ist der ein unendlicher Graph der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen

Farey-Graph

In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Farey-Graph

Definition Bearbeiten

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist , also die Menge aller Paare

wobei als aufgefasst wird.

Zwei Knoten und sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

gilt.

Anwendungen Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3
  2. The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist der Farey Graph ein unendlicher Graph der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt Farey Graph Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendungen 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Knotenmenge des Farey Graphen ist Q displaystyle mathbb Q cup left infty right nbsp also die Menge aller Paare p q p q Z teilerfremd q 0 displaystyle left frac p q p q in mathbb Z mbox teilerfremd q geq 0 right nbsp wobei displaystyle infty nbsp als 1 0 displaystyle frac 1 0 nbsp aufgefasst wird Zwei Knoten a c displaystyle frac a c nbsp und b d displaystyle frac b d nbsp sind genau dann durch eine Kante verbunden wenn det a b c d 1 displaystyle det left begin array cc a amp b c amp d end array right pm 1 nbsp gilt 1 Anwendungen BearbeitenFarey Folgen werden durch Farey Diagramme F n displaystyle F n nbsp beschrieben der Farey Graph ist die Vereinigung n F n displaystyle cup n F n nbsp aller Farey Diagramme In der Theorie der Kettenbruche wird der Farey Graph verwendet um zu beweisen dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist Die Modulgruppe S L 2 Z displaystyle SL 2 mathbb Z nbsp und ihr Quotient P S L 2 Z S L 2 Z I displaystyle PSL 2 mathbb Z SL 2 mathbb Z pm I nbsp wirken durch gebrochen lineare Transformationen auf Q displaystyle mathbb Q cup left infty right nbsp und bilden dabei adjazente Knoten des Farey Graphen wieder auf adjazente Knoten ab Die Einbettung des Farey Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung Q P 1 Q P 1 R H 2 displaystyle mathbb Q cup left infty right P 1 mathbb Q subset P 1 mathbb R partial infty H 2 nbsp und Realisierung der Kanten als Geodaten gibt die Farey Tesselation der hyperbolischen Ebene Die Coxeter Gruppe G a b c a 2 b 2 c 2 1 displaystyle G langle a b c vert a 2 b 2 c 2 1 rangle nbsp d h die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks wirkt auf dem Fareygraphen durcha 0 1 1 0 b 1 1 2 1 c 1 2 1 1 displaystyle a to pm left begin array cc 0 amp 1 1 amp 0 end array right b to pm left begin array cc 1 amp 1 2 amp 1 end array right c to pm left begin array cc 1 amp 2 1 amp 1 end array right nbsp jedes der Dreiecke der Farey Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von G displaystyle G nbsp auf der hyperbolischen Ebene Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey Graph die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von S L 2 Z displaystyle SL 2 mathbb Z nbsp auf dem Farey Graphen 2 Weblinks BearbeitenThe Farey diagram PDF 675 kB Distance formula in Farey graphEinzelnachweise Bearbeiten The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3 space Kapitel 3 The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Farey Graph amp oldid 226169511