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Exakter Test nach Fisher Der Exakte Fisher Test Fisher Yates Test exakter Chi Quadrat Test 1 ist ein exakter Signifikanz

Exakter Test nach Fisher

Der Exakte Fisher-Test (Fisher-Yates-Test, exakter Chi-Quadrat-Test) ist ein exakter Signifikanztest auf Unabhängigkeit in Kontingenztafeln. Im Gegensatz zum Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test stellt er jedoch keine Voraussetzungen an den Stichprobenumfang und liefert auch bei einer geringen Anzahl von Beobachtungen zuverlässige Resultate. Er geht auf den britischen Statistiker Ronald Aylmer Fisher zurück. Ursprünglich wurde er für zwei dichotome Variablen entwickelt, also für 2x2-Kontingenztafeln, aber er kann auch auf größere Kontingenztafeln erweitert werden.

Idee Bearbeiten

Erwartete Häufigkeiten bei
Gültigkeit der Nullhypothese.
A nicht A
B
nicht B
Beobachtete Häufigkeiten
in der Stichprobe.
A nicht A
B
nicht B

Fishers exakter Test ist eine Alternative zum Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test bei einer 2x2-Kontingenztafel. Die rechte obere Kontingenztabelle enthält die beobachteten Häufigkeiten , , und für die vier Merkmalskombinationen, während die linke obere Kontingenztabelle die erwarteten Häufigkeiten unter der Gültigkeit der Nullhypothese enthält. Der Wert der Teststatistik ergäbe sich beim Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test als

und die zugehörige Teststatistik wäre dann approximativ -verteilt mit einem Freiheitsgrad, falls die Hypothese der Unabhängigkeit richtig ist. Damit die Approximation gilt, muss jedoch gelten , , und .

Sind die vier Randhäufigkeiten , , und fest, dann reicht es jedoch eine der Zellen zu betrachten. Sobald z. B. der Wert von festliegt, liegen aufgrund der fixierten Randhäufigkeiten auch die Werte für , und schließlich auch fest.

Fisher zeigte, dass die Anzahl der Beobachtungen in der linken oberen Ecke einer hypergeometrischen Verteilung folgt:

Die unbekannten Randverteilungen werden aus der Stichprobe mittels deren Randhäufigkeiten geschätzt, so dass folgt:

und die Wahrscheinlichkeit, dass , ergibt sich zu

Alternativ kann nach Bortz, Lienert und Boehnke (1990) die Wahrscheinlichkeit geschrieben werden als

Ist der Wert von in der Stichprobe zu klein oder zu groß, dann muss die Nullhypothese abgelehnt werden.

Vorgehensweise Bearbeiten

Wahrscheinlichkeitsverteilung für für das Schülerbeispiel.
Leistungen der Schüler
einer kleinen Klasse 		männlich weiblich Summe
genügend 3 1 4
ungenügend 2 2 4
Summe 5 3

Die Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann bei dem Beispiel nicht mit dem Chi-Quadrat-Test bzw. dem Vierfeldertest auf seine statistische Signifikanz geprüft werden. Der exakte Test von Fisher hält dagegen auch bei wenigen Beobachtungen das geforderte Niveau ein.

Wählt man z. B. ein Signifikanzniveau , so ergeben sich die kritischen Werte als 2 bzw. 3, d. h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden, wenn oder ist. Ist oder ist , dann kann die Nullhypothese verworfen werden. Im Beispiel ist , d. h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden.

Daneben gibt es noch drei weitere Tabellen (siehe unten), für die gilt, dass die Summe der Spalten- und Zeilenhäufigkeiten gleich den beobachteten Werten sind.

männl. weibl.
genügend 1 3
ungenügend 4 0
männl. weibl.
genügend 2 2
ungenügend 3 1
männl. weibl.
genügend 4 0
ungenügend 1 3

Dieses Beispiel zeigt auch, dass der exakte Test nach Fisher ein konservativer Test ist. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise die Alternativhypothese annimmt (Fehler 1. Art), ergibt sich zu

also kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Fisher-Test mit R durchführen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. http://isi.cbs.nl/glossary/term1276.htm
  2. Mehta, C. R. and Patel, N. R. (1986) Algorithm 643. FEXACT: A Fortran subroutine for Fisher's exact test on unordered r*c contingency tables. ACM Transactions on Mathematical Software, 12, S. 154–161, doi:10.1145/6497.214326.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Exakte Fisher Test Fisher Yates Test exakter Chi Quadrat Test 1 ist ein exakter Signifikanztest auf Unabhangigkeit in Kontingenztafeln Im Gegensatz zum Chi Quadrat Unabhangigkeits Test stellt er jedoch keine Voraussetzungen an den Stichprobenumfang und liefert auch bei einer geringen Anzahl von Beobachtungen zuverlassige Resultate Er geht auf den britischen Statistiker Ronald Aylmer Fisher zuruck Ursprunglich wurde er fur zwei dichotome Variablen entwickelt also fur 2x2 Kontingenztafeln aber er kann auch auf grossere Kontingenztafeln erweitert werden 2 Inhaltsverzeichnis 1 Idee 2 Vorgehensweise 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseIdee BearbeitenErwartete Haufigkeiten beiGultigkeit der Nullhypothese A nicht A displaystyle sum nbsp B h a displaystyle h a nbsp h c displaystyle h c nbsp h B displaystyle h B nbsp nicht B h b displaystyle h b nbsp h d displaystyle h d nbsp h B displaystyle h bar B nbsp displaystyle sum nbsp h A displaystyle h A nbsp h A displaystyle h bar A nbsp n displaystyle n nbsp Beobachtete Haufigkeitenin der Stichprobe A nicht A displaystyle sum nbsp B a displaystyle a nbsp c displaystyle c nbsp a c displaystyle a c nbsp nicht B b displaystyle b nbsp d displaystyle d nbsp b d displaystyle b d nbsp displaystyle sum nbsp a b displaystyle a b nbsp c d displaystyle c d nbsp n a b c d displaystyle n a b c d nbsp Fishers exakter Test ist eine Alternative zum Chi Quadrat Unabhangigkeits Test bei einer 2x2 Kontingenztafel Die rechte obere Kontingenztabelle enthalt die beobachteten Haufigkeiten a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp und d displaystyle d nbsp fur die vier Merkmalskombinationen wahrend die linke obere Kontingenztabelle die erwarteten Haufigkeiten unter der Gultigkeit der Nullhypothese enthalt Der Wert der Teststatistik ergabe sich beim Chi Quadrat Unabhangigkeits Test als t a h a 2 h a b h b 2 h b c h c 2 h c d h d 2 h d displaystyle t frac a h a 2 h a frac b h b 2 h b frac c h c 2 h c frac d h d 2 h d nbsp und die zugehorige Teststatistik T displaystyle T nbsp ware dann approximativ x 2 displaystyle chi 2 nbsp verteilt mit einem Freiheitsgrad falls die Hypothese der Unabhangigkeit richtig ist Damit die Approximation gilt muss jedoch gelten h a 5 displaystyle h a geq 5 nbsp h b 5 displaystyle h b geq 5 nbsp h c 5 displaystyle h c geq 5 nbsp und h d 5 displaystyle h d geq 5 nbsp Sind die vier Randhaufigkeiten h A displaystyle h A nbsp h B displaystyle h B nbsp h A displaystyle h bar A nbsp und h B displaystyle h bar B nbsp fest dann reicht es jedoch eine der Zellen zu betrachten Sobald z B der Wert von h a displaystyle h a nbsp festliegt liegen aufgrund der fixierten Randhaufigkeiten auch die Werte fur h b displaystyle h b nbsp h c displaystyle h c nbsp und schliesslich auch h d displaystyle h d nbsp fest Fisher zeigte dass die Anzahl der Beobachtungen H a displaystyle H a nbsp in der linken oberen Ecke einer hypergeometrischen Verteilung folgt H a H y p N h y p n M h y p h B n h y p h A displaystyle H a sim Hyp N hyp n M hyp h B n hyp h A nbsp Die unbekannten Randverteilungen werden aus der Stichprobe mittels deren Randhaufigkeiten geschatzt so dass folgt H a H y p N h y p n M h y p a c n h y p a b displaystyle H a sim Hyp N hyp n M hyp a c n hyp a b nbsp und die Wahrscheinlichkeit dass H a a displaystyle H a a nbsp ergibt sich zu P H a a M h y p a N h y p M h y p n h y p a N h y p n h y p a c a b d b n a b displaystyle P H a a frac M hyp choose a N hyp M hyp choose n hyp a N hyp choose n hyp frac a c choose a b d choose b n choose a b nbsp Alternativ kann nach Bortz Lienert und Boehnke 1990 die Wahrscheinlichkeit geschrieben werden als P H a a a b c d a c b d n a b c d displaystyle P H a a frac a b c d a c b d n a b c d nbsp Ist der Wert von a displaystyle a nbsp in der Stichprobe zu klein oder zu gross dann muss die Nullhypothese abgelehnt werden Vorgehensweise Bearbeiten nbsp Wahrscheinlichkeitsverteilung fur a displaystyle a nbsp fur das Schulerbeispiel Leistungen der Schulereiner kleinen Klasse mannlich weiblich Summegenugend 3 1 4ungenugend 2 2 4Summe 5 3Die Unabhangigkeit der Schulerleistung vom Geschlecht kann bei dem Beispiel nicht mit dem Chi Quadrat Test bzw dem Vierfeldertest auf seine statistische Signifikanz gepruft werden Der exakte Test von Fisher halt dagegen auch bei wenigen Beobachtungen das geforderte Niveau ein Wahlt man z B ein Signifikanzniveau a 15 displaystyle alpha 15 nbsp so ergeben sich die kritischen Werte als 2 bzw 3 d h die Nullhypothese der Unabhangigkeit der Schulerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden wenn a 2 displaystyle a 2 nbsp oder a 3 displaystyle a 3 nbsp ist Ist a lt 2 displaystyle a lt 2 nbsp oder ist a gt 3 displaystyle a gt 3 nbsp dann kann die Nullhypothese verworfen werden Im Beispiel ist a 3 displaystyle a 3 nbsp d h die Nullhypothese der Unabhangigkeit der Schulerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden Daneben gibt es noch drei weitere Tabellen siehe unten fur die gilt dass die Summe der Spalten und Zeilenhaufigkeiten gleich den beobachteten Werten sind a 1 displaystyle a 1 nbsp mannl weibl genugend 1 3ungenugend 4 0 a 2 displaystyle a 2 nbsp mannl weibl genugend 2 2ungenugend 3 1 a 4 displaystyle a 4 nbsp mannl weibl genugend 4 0ungenugend 1 3Dieses Beispiel zeigt auch dass der exakte Test nach Fisher ein konservativer Test ist Denn die Wahrscheinlichkeit dass man falschlicherweise die Alternativhypothese annimmt Fehler 1 Art ergibt sich zu P H 1 H 0 P H a 0 P H a 1 P H a 4 P H a 5 14 28 lt a 15 displaystyle P H 1 H 0 P H a 0 P H a 1 P H a 4 P H a 5 14 28 lt alpha 15 nbsp also kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Fisher Test mit R durchfuhren Lern und Lehrmaterialien Fisher Test online berechnenEinzelnachweise Bearbeiten http isi cbs nl glossary term1276 htm Mehta C R and Patel N R 1986 Algorithm 643 FEXACT A Fortran subroutine for Fisher s exact test on unordered r c contingency tables ACM Transactions on Mathematical Software 12 S 154 161 doi 10 1145 6497 214326 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Exakter Test nach Fisher amp oldid 227511632