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Erweiterungsprinzip in der Theorie der Fuzzymengen Das Erweiterungsprinzip engl extension principle in der Theorie der F

Erweiterungsprinzip in der Theorie der Fuzzymengen

Das Erweiterungsprinzip (engl. extension principle) in der Theorie der Fuzzymengen geht auf Lotfi Zadeh 1965 zurück.

Es ist der Versuch, klassische mathematische Konzepte zu „erweitern“, um dort mit Fuzzymengen arbeiten zu können. Im Kern ist das Erweiterungsprinzip nichts anderes als ein Fortpflanzungsprinzip von Unschärfe. Es beantwortet die Frage, welchen unscharfen Wert eine klassische Funktion hat, wenn das unscharfe Argument vorliegt, d. h. was versteht man unter ?

Definitionen Bearbeiten

Sei zunächst eine einstellige reellwertige Funktion und eine Fuzzymenge auf mit der Zugehörigkeitsfunktion . Wenn eineindeutig ist, dann ergibt sich die Zugehörigkeitsfunktion für einfach durch

d. h. durch wird der Zugehörigkeitswert direkt in übertragen. Der interessantere Fall ist, wenn nicht eineindeutig ist, d. h. wenn mehrere auf das gleiche führen können. Dann ist nach Zadeh

Erweiterungsprinzip für eine nicht eineindeutige Funktion: drei x-Werte führen auf dasselbe y

zu bilden, d. h. ist gleich dem größtmöglichen Zugehörigkeitswert mit . Ganz allgemein sei nun eine mehrstellige reellwertige Funktion, d. h. und seien die unscharfen Argumente. Dann ist der unscharfe Funktionswert definiert durch

siehe z. B. Für in der letzten Formel kann auch eine andere T-Norm benutzt werden.

Anwendungen Bearbeiten

  • Arithmetik mit Fuzzy-Zahlen: Das Erweiterungsprinzip, angewendet auf die Funktionen definiert Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Fuzzy-Zahlen, siehe z. B.
  • Kompatibilität von Fuzzymengen: Die Kompatibilität einer Fuzzymenge mit der Fuzzymenge gibt den Grad an, mit dem das unscharfe Element zu gehört. Zu welchem Grad gehört beispielsweise eine etwa 30-jährige Frau zur Fuzzymenge der jungen Frauen? ergibt sich, indem man das Erweiterungsprinzip auf die Funktion anwendet.
  • Statistik mit unscharfen Daten: Sei eine Stichprobenfunktion, z. B. eine Schätzfunktion oder eine Teststatistik. Das Erweiterungsprinzip, angewendet auf diese Stichprobenfunktion, führt zu einer Stichprobenfunktion für unscharfe Daten , siehe z. B.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ L.A.Zadeh (1965): Fuzzy sets. Information and Control 8: 338–353. doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X
  2. ↑ D. Dubois and H. Prade (1980) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York
  3. Bandemer, H. and Näther, W. (1992): Fuzzy Data Analysis, Kluwer Dordrecht
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Das Erweiterungsprinzip engl extension principle in der Theorie der Fuzzymengen geht auf Lotfi Zadeh 1965 zuruck 1 Es ist der Versuch klassische mathematische Konzepte zu erweitern um dort mit Fuzzymengen arbeiten zu konnen Im Kern ist das Erweiterungsprinzip nichts anderes als ein Fortpflanzungsprinzip von Unscharfe Es beantwortet die Frage welchen unscharfen Wert B displaystyle B eine klassische Funktion f displaystyle f hat wenn das unscharfe Argument A displaystyle A vorliegt d h was versteht man unter f A B displaystyle f A B Definitionen BearbeitenSei zunachst f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp eine einstellige reellwertige Funktion und A displaystyle A nbsp eine Fuzzymenge auf R displaystyle mathbb R nbsp mit der Zugehorigkeitsfunktion m A displaystyle m A nbsp Wenn f displaystyle f nbsp eineindeutig ist dann ergibt sich die Zugehorigkeitsfunktion m B displaystyle m B nbsp fur B f A displaystyle B f A nbsp einfach durch m B y m A f 1 y m A x y f x displaystyle m B y m A f 1 y m A x quad y f x nbsp d h durch y f x displaystyle y f x nbsp wird der Zugehorigkeitswert m A x displaystyle m A x nbsp direkt in m B y displaystyle m B y nbsp ubertragen Der interessantere Fall ist wenn f displaystyle f nbsp nicht eineindeutig ist d h wenn mehrere x displaystyle x nbsp auf das gleiche y displaystyle y nbsp fuhren konnen Dann ist nach Zadeh 1 nbsp Erweiterungsprinzip fur eine nicht eineindeutige Funktion drei x Werte fuhren auf dasselbe ym B y sup x R f x y m A x displaystyle m B y sup x in mathbb R f x y m A x nbsp zu bilden d h m B y displaystyle m B y nbsp ist gleich dem grosstmoglichen Zugehorigkeitswert m A x displaystyle m A x nbsp mit y f x displaystyle y f x nbsp Ganz allgemein sei nun f R d R displaystyle f colon mathbb R d to mathbb R nbsp eine mehrstellige reellwertige Funktion d h f x 1 x d y displaystyle f x 1 x d y nbsp und A 1 A d displaystyle A 1 A d nbsp seien die unscharfen Argumente Dann ist der unscharfe Funktionswert B displaystyle B nbsp definiert durch m B y sup x 1 x d R d f x 1 x d y min m A 1 x 1 m A d x d displaystyle m B y sup x 1 x d in mathbb R d f x 1 x d y min m A 1 x 1 m A d x d nbsp siehe z B 2 Fur min displaystyle min nbsp in der letzten Formel kann auch eine andere T Norm benutzt werden Anwendungen BearbeitenArithmetik mit Fuzzy Zahlen Das Erweiterungsprinzip angewendet auf die Funktionen f 1 x 1 x 2 x 1 x 2 f 2 x 1 x 2 x 1 x 2 f 3 x 1 x 2 x 1 x 2 f 4 x 1 x 2 x 1 x 2 displaystyle f 1 x 1 x 2 x 1 x 2 quad f 2 x 1 x 2 x 1 x 2 quad f 3 x 1 x 2 x 1 x 2 quad f 4 x 1 x 2 frac x 1 x 2 nbsp definiert Addition Subtraktion Multiplikation und Division von Fuzzy Zahlen siehe z B 2 Kompatibilitat von Fuzzymengen Die Kompatibilitat C B A displaystyle C B A nbsp einer Fuzzymenge B displaystyle B nbsp mit der Fuzzymenge A displaystyle A nbsp gibt den Grad an mit dem das unscharfe Element A displaystyle A nbsp zu B displaystyle B nbsp gehort Zu welchem Grad gehort beispielsweise eine etwa 30 jahrige Frau zur Fuzzymenge der jungen Frauen C B A displaystyle C B A nbsp ergibt sich indem man das Erweiterungsprinzip auf die Funktion f x m B x displaystyle f x m B x nbsp anwendet 2 Statistik mit unscharfen Daten Sei f x 1 x n displaystyle f x 1 x n nbsp eine Stichprobenfunktion z B eine Schatzfunktion oder eine Teststatistik Das Erweiterungsprinzip angewendet auf diese Stichprobenfunktion fuhrt zu einer Stichprobenfunktion fur unscharfe Daten A 1 A n displaystyle A 1 A n nbsp siehe z B 3 Einzelnachweise Bearbeiten a b L A Zadeh 1965 Fuzzy sets Information and Control 8 338 353 doi 10 1016 S0019 9958 65 90241 X a b c D Dubois and H Prade 1980 Fuzzy Sets and Systems Academic Press New York Bandemer H and Nather W 1992 Fuzzy Data Analysis Kluwer Dordrecht Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erweiterungsprinzip in der Theorie der Fuzzymengen amp oldid 186769640