Entropiezahlen sind in der Funktionalanalysis Kennzahlen von stetigen linearen Operatoren. Das Konzept basiert auf dem Begriff der Epsilon-Entropie.
Definition Bearbeiten
Äußere Entropiezahlen Bearbeiten
Seien und Banachräume und ein linearer stetiger Operator , so nennt man
n-te Entropiezahl von T, wobei bzw. die abgeschlossenen Einheitskugeln in X bzw. Y sind. Wir nennen
die n-te dyadische Entropiezahl von T.
Beim Übergang von den „normalen“ Entropiezahlen zu den dyadischen gehen bei der asymptotischen Betrachtung keine wesentlichen Informationen verloren. Darum werden die dyadischen Entropiezahlen oft nur Entropiezahlen genannt.
Innere Entropiezahlen Bearbeiten
Seien und Banachräume und ein linearer stetiger Operator , so nennt man
innere Entropiezahl von T.
wird dyadische innere Entropiezahl von T genannt.
Zusammenhang von inneren zu äußeren Entropiezahlen Bearbeiten
Wie Carl und Stephani in ihrem Buch Entropy, compactness and the approximation of operators gezeigt haben, besteht die Beziehung
weshalb man meist nur betrachtet.
Bemerkung Bearbeiten
Wenn man auf die Definition der Entropiezahlen sieht, erkennt man folgenden elementaren Zusammenhang:
Auf Grund dieser Tatsache kann man die Entropiezahlen nutzen um dem Operator einen „Grad der Kompaktheit“ zuzuordnen, d. h. je schneller die Entropiezahlen gegen 0 fallen, umso kompakter ist der Operator.
Literatur Bearbeiten
- Hermann König: Eigenvalue Distribution of Compact Operators, Birkhäuser, 1985 (enthält eine gute Einführung in die Theorie der s-Zahlen)
- David Eric Edmunds, Hans Triebel: Function Spaces, Entropy Numbers, Differential Operators, Cambridge University Press, 1994
- Bernd Carl, Irmtraud Stephani: Entropy, compactness and the approximation of operators, Cambridge University Press, 1990