Erweiterte Funktion Eine erweiterte Funktion und der damit eng verbundene Begriff einer echten Funktion ist eine Funktio

Erweiterte Funktion

Eine erweiterte Funktion und der damit eng verbundene Begriff einer echten Funktion ist eine Funktion, deren Wertebereich um den symbolischen Wert unendlich erweitert wird. Dies erleichtert den Umgang mit der Funktion, da man sich auf die Urbildmengen von Interesse konzentrieren kann, allen anderen Mengen wird der Funktionswert unendlich zugewiesen. Dadurch kann unter Umständen auf Fallunterscheidungen verzichtet werden.

Definition Bearbeiten

Gegeben ist eine Funktion sowie eine Menge , auf der die Funktion eine gewisse Eigenschaft von Interesse besitzt. Dann heißt die Funktion mit

erweiterte Funktion zu . Typische Eigenschaften von Interesse sind zum Beispiel Monotonie, Konvexität oder Wohldefiniertheit. Die erweiterte Funktion ist ebenfalls auf ganz definiert. Die Menge

heißt der wesentliche Definitionsbereich von . Ist , so heißt eine echte Funktion.

Beispiele Bearbeiten

Monotonie Bearbeiten

Als Beispiel betrachten wir die Funktion , definiert durch . Sie ist monoton fallend auf dem Intervall . Um diese Eigenschaft nun auf ganz zu übertragen, setzen wir . Demnach gilt:

Die erweiterte Funktion ist nun nach den Rechenregeln mit unendlich monoton fallend auf ganz .

Konvexität Bearbeiten

Ist konvex auf der Menge , so ist die erweiterte konvexe Funktion durch

definiert. Mit den Rechenregeln für unendlich ist diese Funktion nun konvex auf ganz und nicht nur auf der Menge . Beispielsweise ist die Sinusfunktion konvex auf dem Intervall . Somit lautet die erweiterte Funktion

Diese Funktion ist nun konvex auf ganz .

Definitionslücken Bearbeiten

Betrachtet man die Funktion , so ist diese an der Stelle nicht definiert. Setzt man nun , wobei der Definitionsbereich ist, so gilt:

Die erweiterte Funktion ist jetzt auf ganz definiert und es können Operationen mit der Funktion ausgeführt werden, ohne Rücksicht auf die Definitionslücke zu nehmen. Es darf aber nicht aus der erweiterten Funktion geschlossen werden, dass gelte, da der Wert erst im Nachhinein festgelegt wurde.

Verwendung Bearbeiten

Erweiterte Funktionen finden sich in vielen Bereichen der Analysis, insbesondere der Optimierung. Hier bieten sie den Vorteil, dass man bei erweiterten Definitionen immer noch sinnvoll minimieren kann, aber keine formalen Probleme mit Definitionslücken oder nicht-konvexen Bereichen der Funktion bekommt.

Literatur Bearbeiten

Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2.
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).

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Veröffentlichungsdatum: Februar 10, 2024, 04:53 am

Eine erweiterte Funktion und der damit eng verbundene Begriff einer echten Funktion ist eine Funktion deren Wertebereich um den symbolischen Wert unendlich erweitert wird Dies erleichtert den Umgang mit der Funktion da man sich auf die Urbildmengen von Interesse konzentrieren kann allen anderen Mengen wird der Funktionswert unendlich zugewiesen Dadurch kann unter Umstanden auf Fallunterscheidungen verzichtet werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Monotonie 2 2 Konvexitat 2 3 Definitionslucken 3 Verwendung 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben ist eine Funktion f V R displaystyle f colon V to mathbb R nbsp sowie eine Menge M V displaystyle M subset V nbsp auf der die Funktion eine gewisse Eigenschaft von Interesse besitzt Dann heisst die Funktion f V R displaystyle tilde f colon V to mathbb R cup infty nbsp mit f x f x falls x M sonst displaystyle tilde f x begin cases f x amp text falls x in M infty amp text sonst end cases nbsp erweiterte Funktion zu f displaystyle f nbsp Typische Eigenschaften von Interesse sind zum Beispiel Monotonie Konvexitat oder Wohldefiniertheit Die erweiterte Funktion ist ebenfalls auf ganz V displaystyle V nbsp definiert Die Menge dom f x V f x lt displaystyle operatorname dom tilde f x in V mid tilde f x lt infty nbsp heisst der wesentliche Definitionsbereich von f displaystyle tilde f nbsp Ist dom f displaystyle operatorname dom tilde f neq emptyset nbsp so heisst f displaystyle tilde f nbsp eine echte Funktion Beispiele BearbeitenMonotonie Bearbeiten Als Beispiel betrachten wir die Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp definiert durch f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp Sie ist monoton fallend auf dem Intervall 0 displaystyle 0 infty nbsp Um diese Eigenschaft nun auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp zu ubertragen setzen wir M 0 displaystyle M 0 infty nbsp Demnach gilt f x x 2 falls x 0 sonst displaystyle tilde f x begin cases x 2 amp text falls x in 0 infty infty amp text sonst end cases nbsp Die erweiterte Funktion ist nun nach den Rechenregeln mit unendlich monoton fallend auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp Konvexitat Bearbeiten Ist f displaystyle f nbsp konvex auf der Menge C displaystyle C nbsp so ist die erweiterte konvexe Funktion f V R displaystyle tilde f colon V to mathbb R cup infty nbsp durch f x f x falls x C sonst displaystyle tilde f x begin cases f x amp text falls x in C infty amp text sonst end cases nbsp definiert Mit den Rechenregeln fur unendlich ist diese Funktion nun konvex auf ganz V displaystyle V nbsp und nicht nur auf der Menge C displaystyle C nbsp Beispielsweise ist die Sinusfunktion konvex auf dem Intervall p 0 displaystyle pi 0 nbsp Somit lautet die erweiterte Funktion f x sin x falls x p 0 sonst displaystyle tilde f x begin cases sin x amp text falls x in pi 0 infty amp text sonst end cases nbsp Diese Funktion ist nun konvex auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp Definitionslucken Bearbeiten Betrachtet man die Funktion f x 1 x 2 displaystyle f x tfrac 1 x 2 nbsp so ist diese an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp nicht definiert Setzt man nun M D f displaystyle M D f nbsp wobei D f displaystyle D f nbsp der Definitionsbereich ist so gilt f x falls x 0 1 x 2 sonst displaystyle tilde f x begin cases infty amp text falls x 0 frac 1 x 2 amp text sonst end cases nbsp Die erweiterte Funktion ist jetzt auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp definiert und es konnen Operationen mit der Funktion ausgefuhrt werden ohne Rucksicht auf die Definitionslucke zu nehmen Es darf aber nicht aus der erweiterten Funktion geschlossen werden dass 1 0 2 displaystyle tfrac 1 0 2 infty nbsp gelte da der Wert displaystyle infty nbsp erst im Nachhinein festgelegt wurde Verwendung BearbeitenErweiterte Funktionen finden sich in vielen Bereichen der Analysis insbesondere der Optimierung Hier bieten sie den Vorteil dass man bei erweiterten Definitionen immer noch sinnvoll minimieren kann aber keine formalen Probleme mit Definitionslucken oder nicht konvexen Bereichen der Funktion bekommt Literatur BearbeitenCarl Geiger Christian Kanzow Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2002 ISBN 3 540 42790 2 Stephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press Cambridge New York Melbourne 2004 ISBN 978 0 521 83378 3 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erweiterte Funktion amp oldid 211907808