Die Dutta Ray Losung ist ein Losungskonzept der kooperativen Spieltheorie Streben eigennutzenmaximierende Individuen als soziales Ziel die Gleichheit an so ist die Dutta Ray Losung fur kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen geeignet Jede einzelne Koalition strebt dabei das Prinzip der Gleichheit an 1 Inhaltsverzeichnis 1 Lorenz Menge 2 Definition Dutta Ray Losung 3 Beispiele 3 1 Beispiel 1 3 2 Beispiel 2 4 Literatur 5 EinzelnachweiseLorenz Menge BearbeitenDie Lorenz Menge wird mittels der starken Lorenz Dominanz definiert Dabei werden jene Zuteilungsvektoren verglichen mittels derer die Lorenz Kurven berechnet werden In einem balancierten Spiel G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist die Lorenz Menge definiert als L M v x C v y C v y L o r x displaystyle displaystyle LM v left x in C v nexists y in C v y succ Lor x right nbsp Die Lorenz Menge besteht somit aus allen nicht Lorenz dominierten Kernzuteilungen Ausserdem ist die Lorenz Menge eine Teilmenge des Kerns 2 Definition Dutta Ray Losung BearbeitenFur konvexe Spiele G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist die Lorenz Menge einelementig d h L M v 1 displaystyle LM v 1 nbsp Dieses Element wird dann auch Dutta Ray Losung genannt Die Dutta Ray Losung eines konvexen Spiels G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist gegeben mit D R L v a r g m i n x C v i N x i v N N 2 displaystyle displaystyle DRL v underset x in C v operatorname arg min sum i in N left x i frac v N N right 2 nbsp 3 Somit minimiert die Dutta Ray Losung den euklidischen Abstand zwischen der Gleichverteilung und dem Kern Beispiele BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten Koalitionsfunktion des Bei Spiels 4 S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp v S displaystyle displaystyle v S nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 700 displaystyle displaystyle 700 nbsp 500 displaystyle displaystyle 500 nbsp 500 displaystyle displaystyle 500 nbsp 1200 displaystyle displaystyle 1200 nbsp Es handelt sich um ein konvexes Spiel Ist die Gleichverteilung im Kern des Spieles so ist es die Dutta Ray Losung Hier sind die dafur notwendigen Bedingungen mit x A x B x C 400 displaystyle x A x B x C 400 nbsp erfullt x A x B x C 200 x A x B x C 1200 x A x B 700 x A x C 500 x B x C 500 displaystyle begin array rcc displaystyle x A x B x C amp geq amp 200 amp x A x B x C amp amp 1200 amp x A x B amp geq amp 700 amp x A x C amp geq amp 500 amp x B x C amp geq amp 500 amp end array nbsp Beispiel 2 Bearbeiten Betrachtet man nun folgende Koalitionsfunktion mit ebenfalls v N 1200 displaystyle v N 1200 nbsp S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp v S displaystyle displaystyle v S nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 100 displaystyle displaystyle 100 nbsp 100 displaystyle displaystyle 100 nbsp 100 displaystyle displaystyle 100 nbsp 900 displaystyle displaystyle 900 nbsp 300 displaystyle displaystyle 300 nbsp 300 displaystyle displaystyle 300 nbsp 1200 displaystyle displaystyle 1200 nbsp So kann festgehalten werden dass dieses Spiel weiterhin konvex ist Setzt man wieder die Gleichverteilung mit x A x B x C 400 displaystyle x A x B x C 400 nbsp in die Bedingungen ein x A x B x C 100 x A x B x C 1200 x A x B 900 x A x C 300 x B x C 300 displaystyle begin array rcc displaystyle x A x B x C amp geq amp 100 amp x A x B x C amp amp 1200 amp x A x B amp geq amp 900 amp x A x C amp geq amp 300 amp x B x C amp geq amp 300 amp end array nbsp ist die dritte Bedingung verletzt d h die Gleichverteilung liegt nicht im Kern des Spieles Spieler A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp wollen zusammen mindestens eine Auszahlung von 900 displaystyle 900 nbsp erhalten Wird diese Auszahlung halftig unter den beiden Spielern aufgeteilt x A x B 450 displaystyle x A x B 450 nbsp dann kann Spieler C displaystyle C nbsp noch den Rest der Auszahlung der grossen Koalition mit x C 300 displaystyle x C 300 nbsp v N x A x B 1200 450 450 300 displaystyle v N x A x B 1200 450 450 300 nbsp erhalten Somit ist eine Verteilung gefunden die alle Bedingungen erfullt Zudem wird damit offensichtlich dass es sich um die Dutta Ray Losung handelt Literatur BearbeitenBhaskar Dutta Debraj Ray A concept of egalitarianism under participation constraints In Econometrica Volume 57 Issue 3 1989 doi 10 2307 1911055 S 615 635 Bhaskar Dutta Debraj Ray Constrained Egalitarian Allocations In Games and Economic Behavior Volume 3 Issue 4 1991 doi 10 1016 0899 8256 91 90012 4 S 403 422 Toru Hokari Anita van Gellekom Population monotonicity and consistency in convex games Some logical relations In International Journal of Game Theory Volume 31 Issue 4 2002 doi 10 1007 s001820300141 S 593 607 David Muller Investitionscontrolling Entscheidungsfindung bei Investitionen II Entscheidungstheorie 3 Aufl Springer Gabler Berlin u a 2022 ISBN 978 3 658 36596 7 Einzelnachweise Bearbeiten Vgl Dutta Ray 1989 S 615 617 Vgl Muller 2022 S 522 Vgl Hokari van Gellekom 2002 S 596 Muller 2022 S 524 Vgl Muller 2022 S 479 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dutta Ray Losung amp oldid 227992178
