Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.
Seien und zwei Abbildungen . In Anwendungen ist in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und und sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man bereits aus berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion gibt, so dass .
Ist nun eine σ-Algebra auf und ist -messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion mit , dass auch -messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man so klein wie möglich wählt, das heißt wenn
,
die sogenannte von erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das
Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen sind folgende Aussagen äquivalent:
- Es gibt eine Borel-messbare Funktion mit .
- ist -messbar.
Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist bezüglich der von erzeugten σ-Algebra messbar, so kann keine Information enthalten, die nicht bereits in steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.
Quellen Bearbeiten
- A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
- M. M. Rao, R. J. Swift: Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7