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Deming Regression In der Statistik wird mit der eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenp

Deming-Regression

In der Statistik wird mit der Deming-Regression eine Ausgleichsgerade für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare () nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der linearen Regression. Bei der Deming-Regression werden die Residuen (Messfehler) sowohl für die - als auch für die -Werte in das Modell einbezogen.

Deming-Regression

Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der Regressionsanalyse; sie beruht auf einer Maximum-Likelihood-Schätzung der Regressionsparameter, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück; 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W. E. Deming für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.

Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall . Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der York-Regression.

Rechenweg Bearbeiten

Die gemessenen Werte und werden als Summen der „wahren Werte“ bzw. und der „Fehler“ bzw. aufgefasst, d. h. Die Datenpaare () liegen auf der zu berechnenden Geraden. und seien unabhängig mit und . Bekannt sei zumindest der Quotient der Fehlervarianzen .

Es wird eine Gerade

gesucht, die die gewichtete Residuenquadratsumme minimiert:

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:

Die -Koordinaten berechnet man mit

Erweiterung York-Regression Bearbeiten

York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. C. H. Kummell: Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity. In: The Analyst. 6. Jahrgang, Nr. 4. Annals of Mathematics, 1879, S. 97–105, doi:10.2307/2635646.
  2. T. C. Koopmans: Linear regression analysis of economic time series. DeErven F. Bohn, Haarlem, Netherlands, 1937.
  3. W. E. Deming: Statistical adjustment of data. Wiley, NY (Dover Publications edition, 1985), 1943, ISBN 0-486-64685-8.
  4. P. Glaister: Least squares revisited. The Mathematical Gazette. Vol. 85 (2001), S. 104–107, JSTOR:3620485.
  5. York, D., Evensen, N. M., Martınez, M. L., and Delgado, J. D. B.: Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line, Am. J. Phys., 72, 367–375, 2004, doi:10.1119/1.1632486.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Statistik wird mit der Deming Regression eine Ausgleichsgerade fur eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare x i y i displaystyle x i y i nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt Es handelt sich um eine Variante der linearen Regression Bei der Deming Regression werden die Residuen Messfehler sowohl fur die x displaystyle x als auch fur die y displaystyle y Werte in das Modell einbezogen Deming RegressionDie Deming Regression ist somit ein Spezialfall der Regressionsanalyse sie beruht auf einer Maximum Likelihood Schatzung der Regressionsparameter bei der die Residuen beider Variablen als unabhangig und normalverteilt angenommen werden und der Quotient d displaystyle delta ihrer Varianzen als bekannt unterstellt wird Die Deming Regression geht auf eine Arbeit von C H Kummell 1879 zuruck 1 1937 wurde die Methode von T C Koopmans wieder aufgegriffen 2 und in allgemeinerem Rahmen 1943 von W E Deming fur technische und okonomische Anwendungen bekannt gemacht 3 Die orthogonale Regression ist ein wichtiger Spezialfall der Deming Regression sie behandelt den Fall d 1 displaystyle delta 1 Die Deming Regression wiederum ist ein Spezialfall der York Regression Rechenweg BearbeitenDie gemessenen Werte x i displaystyle x i nbsp und y i displaystyle y i nbsp werden als Summen der wahren Werte x i displaystyle x i nbsp bzw y i displaystyle y i nbsp und der Fehler h i displaystyle eta i nbsp bzw e i displaystyle varepsilon i nbsp aufgefasst d h x i y i x i h i y i e i displaystyle x i y i x i eta i y i varepsilon i nbsp Die Datenpaare x i y i displaystyle x i y i nbsp liegen auf der zu berechnenden Geraden h i displaystyle eta i nbsp und e i displaystyle varepsilon i nbsp seien unabhangig mit s h 2 V a r h displaystyle sigma eta 2 Var eta nbsp und s e 2 V a r e displaystyle sigma varepsilon 2 Var varepsilon nbsp Bekannt sei zumindest der Quotient der Fehlervarianzen d s e 2 s h 2 displaystyle delta frac sigma varepsilon 2 sigma eta 2 nbsp Es wird eine Gerade y b 0 b 1 x displaystyle y beta 0 beta 1 x nbsp gesucht die die gewichtete Residuenquadratsumme minimiert S Q R i 1 n h i 2 s h 2 e i 2 s e 2 1 s e 2 i 1 n y i b 0 b 1 x i 2 d x i x i 2 min b 0 b 1 x i S Q R displaystyle SQR sum i 1 n bigg frac eta i 2 sigma eta 2 frac varepsilon i 2 sigma varepsilon 2 bigg frac 1 sigma varepsilon 2 sum i 1 n Big y i beta 0 beta 1 x i 2 delta x i x i 2 Big to min beta 0 beta 1 x i SQR nbsp Fur die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benotigt x 1 n i 1 n x i displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp arithmetisches Mittel der x i displaystyle x i nbsp y 1 n i 1 n y i displaystyle overline y frac 1 n sum i 1 n y i nbsp arithmetisches Mittel der y i displaystyle y i nbsp s x 2 1 n 1 i 1 n x i x 2 displaystyle s x 2 tfrac 1 n 1 sum i 1 n x i overline x 2 nbsp Stichprobenvarianz der x i displaystyle x i nbsp s y 2 1 n 1 i 1 n y i y 2 displaystyle s y 2 tfrac 1 n 1 sum i 1 n y i overline y 2 nbsp Stichprobenvarianz der y i displaystyle y i nbsp s x y 1 n 1 i 1 n x i x y i y displaystyle s xy tfrac 1 n 1 sum i 1 n x i overline x y i overline y nbsp Stichprobenkovarianz der x i y i displaystyle x i y i nbsp Damit ergeben sich die Parameter zur Losung des Minimierungsproblems 4 b 1 s y 2 d s x 2 s y 2 d s x 2 2 4 d s x y 2 2 s x y displaystyle beta 1 frac s y 2 delta s x 2 sqrt s y 2 delta s x 2 2 4 delta s xy 2 2s xy nbsp b 0 y b 1 x displaystyle beta 0 overline y beta 1 overline x nbsp Die x i displaystyle x i nbsp Koordinaten berechnet man mit x i x i b 1 b 1 2 d y i b 0 b 1 x i displaystyle x i x i frac beta 1 beta 1 2 delta y i beta 0 beta 1 x i nbsp Erweiterung York Regression BearbeitenYork Regression erweitert die Deming Regression da es korrelierte x und y Fehler erlaubt 5 Einzelnachweise Bearbeiten C H Kummell Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity In The Analyst 6 Jahrgang Nr 4 Annals of Mathematics 1879 S 97 105 doi 10 2307 2635646 T C Koopmans Linear regression analysis of economic time series DeErven F Bohn Haarlem Netherlands 1937 W E Deming Statistical adjustment of data Wiley NY Dover Publications edition 1985 1943 ISBN 0 486 64685 8 P Glaister Least squares revisited The Mathematical Gazette Vol 85 2001 S 104 107 JSTOR 3620485 York D Evensen N M Martinez M L and Delgado J D B Unified equations for the slope intercept and standard errors of the best straight line Am J Phys 72 367 375 2004 doi 10 1119 1 1632486 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Deming Regression amp oldid 236932575