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Bethe Ansatz Der ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilch

Bethe-Ansatz

Der Bethe-Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen. 1931 präsentierte Hans Bethe diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte (Eigenenergien) und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells. Der eigentliche Bethe-Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz für die Lösung des Eigenwertproblems (Schrödingergleichung).

Varianten des Bethe-Ansatzes führen zur exakten Lösung des Kondo-Modells, welche unabhängig 1980 von Paul Wiegmann und Natan Andrei gefunden wurde, und des Anderson model (P.B. Wiegmann und N. Kawakami, A. Okiji, 1981).

Bethe-Ansatz für das 1D-Heisenberg Modell Bearbeiten

Der Bethe-Ansatz wurde ursprünglich für das eindimensionale Heisenberg-Modell mit nächster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt:

Abhängig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch:

Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt für den Bethe-Ansatz. Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet. Diese wird o.B.d.A in -Richtung angenommen. Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als:

Im Bethe-Ansatz werden die Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplätzen und angegeben als:

Die Eigenzustände des Hamilton-Operators des Heisenberg-Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustände. Dabei sind nur Linearkombinationen von Zuständen mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulässig. Dieses ist begründet in der Tatsache, dass der -Operator mit dem Hamilton-Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher -Quantenzahl bestehen müssen. Zur Berechnung dieser Zustände ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunächst Zustände mit lediglich einem umgeklappten Spin. Dieser wird dann auf Superpositionen von Zuständen mit umgeklappten Spins ausgeweitet.

r=1 Bearbeiten

Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz :

Die Eigenvektoren sind Lösungen der stationären Schrödingergleichung . Mittels Koeffizientenvergleich findet man linear unabhängige Gleichungen für die Koeffizienten :

Lösungen dieser Gleichungen, die auch die Bedingung für periodische Randbedingungen erfüllen, sind ebene Wellen:

Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zuständen mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben. Die Energie dieser Zustände folgt aus der Schrödingergleichung:

Der nächste Schritt besteht darin, sich Superpositionen aus Zuständen mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen.

r=2 Bearbeiten

Der Ansatz für die Eigenvektoren lautet:

Bethes Ansatz für die Koeffizienten sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden und :

Die Parameter und werden durch das Einsetzen in die Schrödingergleichung ermittelt. Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhältnis:

welches man in den Ansatz für die Koeffizienten hinzufügt:

Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt, dass die Wellenzahlen und der Winkel folgende Gleichungen erfüllen müssen:

wobei die ganzen Zahlen Bethe-Quantenzahlen genannt werden. Damit sind alle Eigenvektoren für bestimmt durch alle möglichen Paare, die die Gleichungen erfüllen. Die Energie ist dann geben mittels:

Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit umgeklappten Spins bestehen.

r beliebig Bearbeiten

Für Eigenvektoren, die aus Superpositionen von Zuständen mit umgeklappten Spins bestehen, lautet der Ansatz:

mit den Koeffizienten:

Die Summe läuft dabei über alle möglichen Permutationen der Zahlen . Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe-Ansatz bezeichnet. Einsetzen in die Schrödingergleichung und die periodischen Randbedingungen führen zu den Bethe-Ansatz-Gleichungen:

Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen , die die Bethe-Ansatz-Gleichungen erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die Energie des zugehörigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels

angegeben werden.

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. H Bethe: Zur Theorie der Metalle. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. Volume 71. Jahrgang, Nr. 3–4, 1931, S. 205–226, doi:10.1007/BF01341708.
  2. P.B. Wiegmann, Soviet Phys. JETP Lett., 31, 392 (1980).
  3. N. Andrei: Diagonalization of the Kondo Hamiltonian. In: Phys. Rev. Lett. 45. Jahrgang, Nr. 5, August 1980, S. 379–382, doi:10.1103/PhysRevLett.45.379.
  4. P.B. Wiegmann: Towards an exact solution of the Anderson model. In: Physics Letters A. 80. Jahrgang, Nr. 2–3, September 1980, S. 163–167, doi:10.1016/0375-9601(80)90212-1.
  5. Kawakami, Okiji: Exact expression of the ground-state energy for the symmetric anderson model. In: Physics Letters A. 86. Jahrgang, Nr. 9, 1981, S. 483–486, doi:10.1016/0375-9601(81)90663-0.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Bethe Ansatz ist eine analytische Methode zur exakten Berechnung von eindimensionalen quantenmechanischen Vielteilchenproblemen 1931 prasentierte Hans Bethe 1 diese Methode zur Berechnung der exakten Eigenwerte Eigenenergien und Eigenvektoren des eindimensionalen Heisenbergmodells Der eigentliche Bethe Ansatz beschreibt dabei die Parameterisierung der Eigenvektoren als Ansatz fur die Losung des Eigenwertproblems Schrodingergleichung Varianten des Bethe Ansatzes fuhren zur exakten Losung des Kondo Modells welche unabhangig 1980 von Paul Wiegmann 2 und Natan Andrei 3 gefunden wurde und des Anderson model P B Wiegmann 4 und N Kawakami A Okiji 5 1981 Inhaltsverzeichnis 1 Bethe Ansatz fur das 1D Heisenberg Modell 1 1 r 1 1 2 r 2 1 3 r beliebig 2 Weblinks 3 QuellenBethe Ansatz fur das 1D Heisenberg Modell BearbeitenDer Bethe Ansatz wurde ursprunglich fur das eindimensionale Heisenberg Modell mit nachster Nachbarwechselwirkung und periodischen Randbedingungen entwickelt H J n 1 N S n S n 1 J n 1 N 1 2 S n S n 1 S n S n 1 S n z S n 1 z displaystyle H J sum n 1 N vec S n cdot vec S n 1 J sum n 1 N left frac 1 2 S n S n 1 S n S n 1 S n z S n 1 z right nbsp Abhangig vom Vorzeichen der Kopplungskonstante J displaystyle J nbsp ist der Grundzustand ferromagnetisch oder anti ferromagnetisch J gt 0 Ferromagnet lt 0 Anti Ferromagnet displaystyle J begin cases gt 0 amp text Ferromagnet lt 0 amp text Anti Ferromagnet end cases nbsp Der ferromagnetische Grundzustand ist der Ausgangspunkt fur den Bethe Ansatz Im ferromagnetischen Grundzustand sind alle Spins in eine Richtung ausgerichtet Diese wird o B d A in z displaystyle z nbsp Richtung angenommen Damit kann der Grundzustand beschrieben werden als F displaystyle F rangle uparrow uparrow uparrow uparrow rangle nbsp Im Bethe Ansatz werden die Zustande mittels der umgeklappten Zustande vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins an den Gitterplatzen n 1 displaystyle n 1 nbsp und n 2 displaystyle n 2 nbsp angegeben als n 1 n 2 n 1 n 2 displaystyle n 1 n 2 rangle uparrow uparrow underbrace downarrow n 1 uparrow uparrow underbrace downarrow n 2 uparrow uparrow rangle nbsp Die Eigenzustande des Hamilton Operators des Heisenberg Modells sind gegeben als Superpositionen dieser Zustande Dabei sind nur Linearkombinationen von Zustanden mit der gleichen Anzahl r von umgeklappten Spins zulassig Dieses ist begrundet in der Tatsache dass der S z displaystyle S z nbsp Operator mit dem Hamilton Operator kommutiert und daher die Eigenvektoren aus Linearkombinationen von Spins mit gleicher S z displaystyle S z nbsp Quantenzahl bestehen mussen Zur Berechnung dieser Zustande ging Bethe iterativ vor und betrachtete zunachst Zustande mit lediglich einem umgeklappten Spin Dieser wird dann auf Superpositionen von Zustanden mit r displaystyle r nbsp umgeklappten Spins ausgeweitet r 1 Bearbeiten Die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zustanden mit lediglich einem umgeklappten Spin am Gitterplatz n displaystyle n nbsp PS n 1 N a n n displaystyle Psi rangle sum n 1 N a n n rangle nbsp Die Eigenvektoren sind Losungen der stationaren Schrodingergleichung H PS E PS displaystyle H Psi rangle E Psi rangle nbsp Mittels Koeffizientenvergleich findet man N displaystyle N nbsp linear unabhangige Gleichungen fur die Koeffizienten a n displaystyle a n nbsp 2 E E 0 a n J 2 a n a n 1 a n 1 displaystyle 2 E E 0 a n J 2a n a n 1 a n 1 nbsp Losungen dieser Gleichungen die auch die Bedingung fur periodische Randbedingungen a n N a n displaystyle a n N a n nbsp erfullen sind ebene Wellen a n e i k n k 2 p N m mit m 0 1 N 1 displaystyle a n mathrm e ikn qquad k frac 2 pi N m qquad text mit quad m 0 1 N 1 nbsp Damit sind die Eigenvektoren bestehend aus Superpositionen von Zustanden mit lediglich einem umgeklappten Spin angegeben Die Energie dieser Zustande folgt aus der Schrodingergleichung E E 0 J 1 cos k displaystyle E E 0 J 1 cos k nbsp Der nachste Schritt besteht darin sich Superpositionen aus Zustanden mit zwei umgeklappten Spins anzuschauen r 2 Bearbeiten Der Ansatz fur die Eigenvektoren lautet PS n 1 lt n 2 N a n 1 n 2 n 1 n 2 displaystyle Psi rangle sum n1 lt n2 N a n 1 n 2 n 1 n 2 rangle nbsp Bethes Ansatz fur die Koeffizienten a n 1 n 2 displaystyle a n 1 n 2 nbsp sind wieder ebene Wellen mit noch unbekannten Amplituden A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp a n 1 n 2 A 1 e i k 1 n 1 k 2 n 2 A 2 e i k 1 n 2 k 2 n 1 displaystyle a n 1 n 2 A 1 mathrm e i k 1 n 1 k 2 n 2 A 2 mathrm e i k 1 n 2 k 2 n 1 nbsp Die Parameter A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp werden durch das Einsetzen in die Schrodingergleichung ermittelt Dieses ergibt folgendes Amplitudenverhaltnis A 1 A 2 e i 8 e i k 1 k 2 1 2 e i k 1 e i k 1 k 2 1 2 e i k 2 displaystyle frac A 1 A 2 mathrm e i theta frac mathrm e i k 1 k 2 1 2 mathrm e ik 1 mathrm e i k 1 k 2 1 2 mathrm e ik 2 nbsp welches man in den Ansatz fur die Koeffizienten hinzufugt a n 1 n 2 e i k 1 n 1 k 2 n 2 1 2 8 12 e i k 1 n 2 k 2 n 1 1 2 8 21 displaystyle a n 1 n 2 mathrm e i k 1 n 1 k 2 n 2 frac 1 2 theta 12 mathrm e i k 1 n 2 k 2 n 1 frac 1 2 theta 21 nbsp Mit den periodischen Randbedingungen findet man insgesamt dass die Wellenzahlen k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 nbsp und der Winkel 8 8 12 8 2 1 displaystyle theta theta 12 theta 2 1 nbsp folgende Gleichungen erfullen mussen 2 cot 8 2 cot k 1 2 cot k 2 2 N k 1 2 p l 1 8 N k 2 2 p l 2 8 displaystyle 2 cot frac theta 2 cot frac k 1 2 cot frac k 2 2 qquad Nk 1 2 pi lambda 1 theta qquad Nk 2 2 pi lambda 2 theta nbsp wobei die ganzen Zahlen l i 0 1 N displaystyle lambda i 0 1 N nbsp Bethe Quantenzahlen genannt werden Damit sind alle Eigenvektoren fur r 2 displaystyle r 2 nbsp bestimmt durch alle moglichen Paare die die Gleichungen erfullen Die Energie ist dann geben mittels E E 0 J j 1 2 1 cos k j displaystyle E E 0 J sum j 1 2 1 cos k j nbsp Der letzte Schritt ist die Verallgemeinerung fur Eigenvektoren die aus Superpositionen von Zustanden mit r displaystyle r nbsp umgeklappten Spins bestehen r beliebig Bearbeiten Fur Eigenvektoren die aus Superpositionen von Zustanden mit r displaystyle r nbsp umgeklappten Spins bestehen lautet der Ansatz PS n 1 lt n 2 lt lt n r N a n 1 n 2 n r n 1 n 2 n r displaystyle Psi rangle sum n1 lt n2 lt lt n r N a n 1 n 2 n r n 1 n 2 n r rangle nbsp mit den Koeffizienten a n 1 n r P S r exp i j 1 r k P j n j i i lt j 8 P i P j displaystyle a n 1 n r sum P in S r exp left i sum j 1 r k P j n j i sum i lt j theta P i P j right nbsp Die Summe lauft dabei uber alle moglichen r displaystyle r nbsp Permutationen der Zahlen 1 r displaystyle 1 r nbsp Diese Wahl der Koeffizienten der ebenen Wellen wird als Bethe Ansatz bezeichnet Einsetzen in die Schrodingergleichung und die periodischen Randbedingungen fuhren zu den Bethe Ansatz Gleichungen 2 cot 8 i j 2 cot k i 2 cot k j 2 mit i j 1 r N k i 2 p l i j i 8 i j l i 1 N 1 displaystyle begin alignedat 2 2 cot frac theta ij 2 amp cot frac k i 2 cot frac k j 2 amp qquad text mit quad amp i j 1 r Nk i amp 2 pi lambda i sum j neq i theta ij amp amp lambda i 1 N 1 end alignedat nbsp Die Eigenvektoren sind gegeben mit allen Kombinationen der Bethe Quantenzahlen l 1 l r displaystyle lambda 1 lambda r nbsp die die Bethe Ansatz Gleichungen erfullen Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also uber die Bethe Quantenzahlen moglich Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial Die Energie des zugehorigen Zustands kann dann allerdings leicht mittels E E 0 J j 1 r 1 cos k j displaystyle E E 0 J sum j 1 r 1 cos k j nbsp angegeben werden Weblinks BearbeitenEinfuhrung zum Bethe Ansatz englisch Quellen Bearbeiten H Bethe Zur Theorie der Metalle In Zeitschrift fur Physik A Hadrons and Nuclei Volume 71 Jahrgang Nr 3 4 1931 S 205 226 doi 10 1007 BF01341708 P B Wiegmann Soviet Phys JETP Lett 31 392 1980 N Andrei Diagonalization of the Kondo Hamiltonian In Phys Rev Lett 45 Jahrgang Nr 5 August 1980 S 379 382 doi 10 1103 PhysRevLett 45 379 P B Wiegmann Towards an exact solution of the Anderson model In Physics Letters A 80 Jahrgang Nr 2 3 September 1980 S 163 167 doi 10 1016 0375 9601 80 90212 1 Kawakami Okiji Exact expression of the ground state energy for the symmetric anderson model In Physics Letters A 86 Jahrgang Nr 9 1981 S 483 486 doi 10 1016 0375 9601 81 90663 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bethe Ansatz amp oldid 232322775