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Bessel Verfahren Als oder Bessel Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite f displaystyle f einer Samm

Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.

Grundlagen Bearbeiten

Aufbau und Bezeichnungen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position ist das Bild vergrößert, in der Position ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand des Gegenstandes zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite zuzüglich der Distanz der beiden Hauptebenen der Linse:

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände und von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von zu groß, abhängig von .

Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung Bearbeiten

Dünne Linsen Bearbeiten

Bezeichnungen an der dünnen Linse

1. Herleitung:
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:

wobei die Bildweite und die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

und Einsetzen von sowie

erhält man

Die Umformung ergibt

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

und Einsetzen von (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für :

Wird diese quadratische Gleichung nach aufgelöst, erhält man

wobei als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten definiert ist. Die Umformung ergibt

Dicke Linsen Bearbeiten

Der Abstand der Hauptebenen ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel

Literatur Bearbeiten

  • Eugene Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0

Anmerkungen Bearbeiten

  1. F. W. Bessel: Ueber ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohres. In: Astronomische Nachrichten, Band XVII (1840), No. 403, S. 289–294 (Digitalisat)
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Veröffentlichungsdatum:
Als Bessel Verfahren oder Bessel Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite f displaystyle f einer Sammellinse bezeichnet Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel der sie im Jahre 1840 publizierte 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 Herleitung 2 1 Dunne Linsen 2 2 Dicke Linsen 3 Literatur 4 AnmerkungenGrundlagen Bearbeiten nbsp Aufbau und BezeichnungenWenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird dann erhalt man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild In der Position P 1 displaystyle P 1 nbsp ist das Bild vergrossert in der Position P 2 displaystyle P 2 nbsp ist es verkleinert Dabei muss der Abstand a displaystyle a nbsp des Gegenstandes zum Schirm grosser sein als das Vierfache der Brennweite f displaystyle f nbsp zuzuglich der Distanz H H displaystyle overline HH nbsp der beiden Hauptebenen der Linse a gt 4 f H H displaystyle a gt 4f overline HH nbsp Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben und die jeweiligen Abstande x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp von einem Rand der Anordnung werden gemessen Aus deren Differenz erhalt man den Abstand e displaystyle e nbsp der beiden Linsenpositionen aus dem die Brennweite mit den Gleichungen f a 2 e 2 4 a displaystyle f frac a 2 e 2 4a nbsp fur dunne Linsen f a H H 2 e 2 4 a H H displaystyle f frac a overline HH 2 e 2 4 a overline HH nbsp fur dicke Linsenberechnet werden kann Gegenuber der einfachen Berechnung aus Bild und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel Verfahren den Vorteil dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H nicht bekannt sein muss Allerdings wird das Ergebnis fur dicke Linsen um die Halfte bis ein Viertel von H H displaystyle overline HH nbsp zu gross abhangig von a displaystyle a nbsp Gegenuber dem aufwandigeren Abbe Verfahren mit dem zusatzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden hat das Bessel Verfahren den Vorteil dass mit einem festen Aufbau Lichtquelle Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand viele Linsen schnell vermessen werden konnen Herleitung BearbeitenDunne Linsen Bearbeiten nbsp Bezeichnungen an der dunnen Linse1 Herleitung Bei dunnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlassigt werden Es gilt b g a displaystyle b g a nbsp wobei b displaystyle b nbsp die Bildweite und g displaystyle g nbsp die Gegenstandsweite ist Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten e a 2 b displaystyle e a 2b nbsp das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden deswegen kann der Abstand e displaystyle e nbsp der beiden Punkte in denen es scharf abgebildet wird nur durch diese Gleichung beschrieben werden Unter Benutzung der Linsengleichung 1 f 1 b 1 g displaystyle frac 1 f frac 1 b frac 1 g nbsp und Einsetzen von g a b displaystyle g a b nbsp sowie b a e 2 displaystyle b frac a e 2 nbsp erhalt man 1 f 1 a e 2 1 a a e 2 2 a e 2 a e 4 a a 2 e 2 displaystyle frac 1 f frac 1 frac a e 2 frac 1 a frac a e 2 frac 2 a e frac 2 a e frac 4a a 2 e 2 nbsp Die Umformung ergibt f a 2 e 2 4 a displaystyle f frac a 2 e 2 4a nbsp 2 Herleitung Unter Benutzung der Linsengleichung 1 f 1 b 1 g displaystyle frac 1 f frac 1 b frac 1 g nbsp und Einsetzen von b a g displaystyle b a g nbsp der Abstand der Hauptebenen einer dunnen Linse ist null erhalt man eine Gleichung fur g displaystyle g nbsp 1 f a a g g 2 displaystyle frac 1 f frac a ag g 2 nbsp Wird diese quadratische Gleichung nach g displaystyle g nbsp aufgelost erhalt man e D g a 2 4 a f displaystyle e Delta g sqrt a 2 4af nbsp wobei e displaystyle e nbsp als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten g displaystyle g nbsp definiert ist Die Umformung ergibt f a 2 e 2 4 a displaystyle f frac a 2 e 2 4a nbsp Dicke Linsen Bearbeiten Der Abstand der Hauptebenen H H displaystyle overline HH nbsp ist nicht vernachlassigbar Es gilt a g b H H displaystyle a g b overline HH nbsp und e a H H 2 b displaystyle e a overline HH 2b nbsp Man erhalt mit obigen Uberlegungen die Formel f a H H 2 e 2 4 a H H displaystyle f frac a overline HH 2 e 2 4 a overline HH nbsp Literatur BearbeitenEugene Hecht Optik Oldenbourg Verlag 4 Auflage 2005 ISBN 3 486 27359 0Anmerkungen Bearbeiten F W Bessel Ueber ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohres In Astronomische Nachrichten Band XVII 1840 No 403 S 289 294 Digitalisat Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bessel Verfahren amp oldid 237787655