Bei einer ebenen Starrkorperbewegung besteht die Bereis sche Polkette aus Raumpunkten in denen eine Ableitung der Bewegung eines dort befindlichen Partikels nach der Zeit verschwindet Bei einer ebenen Starrkorperbewegung bei der sich der Starrkorper auch dreht existiert immer ein Punkt in dem die Geschwindigkeit des in ihm befindlichen Partikels null ist Dieser Punkt ist der Momentanpol Der Punkt in dem die Beschleunigung verschwindet ist der Beschleunigungspol R Bereis 1 erkannte brauchbare Hilfsmittel zur Untersuchung der Starrkorperbewegungen auch in denjenigen Raumpunkten in denen die hoheren Ableitungen nach der Zeit verschwinden Demnach ist der Momentanpol der Pol erster Ordnung denn die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Bewegung nach der Zeit Der Pol zweiter Ordnung ist der Beschleunigungspol in dem die Beschleunigung verschwindet Allgemein ist die n te Ableitung der Bewegung nach der Zeit im n ten Pol gleich null Die Gesamtheit dieser Pole bildet die Bereis sche Polkette Inhaltsverzeichnis 1 Definition in der komplexen Zahlenebene 2 Polkette und Zeitableitung 3 Beispiel 4 Einzelnachweise 5 LiteraturDefinition in der komplexen Zahlenebene Bearbeiten nbsp Rastebene gelb mit Rastkoordinaten schwarz und Gangebene himmelblau mit Gangkoordinaten blau Der Momentanpol ist nur bei ebenen Bewegungen definiert und daher werde die Starrkorperbewegung als Bewegung der komplexen Zahlenebene modelliert Der feststehende Bildraum ist die Rastebene die den Raum unserer Anschauung reprasentiert und die das Rastkoordinatensystem und die Rastpolbahn enthalt Der bewegte Urbildraum ist die Gangebene die den in ihr ruhenden Starrkorper und das Gangkoordinatensystem beinhaltet Alle Partikel des Starrkorpers bewegen sich synchron mit der Gangebene mit In Anlehnung an die raumliche eulersche und die materielle lagrangesche Betrachtungsweise werden die Koordinaten in der Rastebene als raumlich sowie mit Kleinbuchstaben und die Koordinaten in der Gangebene als materiell sowie mit Grossbuchstaben bezeichnet siehe Bild Jeder Punkt in der komplexen Zahlenebene entspricht einer komplexen Zahl Die Translation eines Punktes wird mit der Addition einer anderen Zahl und die Rotation um den Ursprung mit dem Produkt mit der komplexen Zahl e i f displaystyle e mathrm i varphi nbsp modelliert worin f displaystyle varphi nbsp der Drehwinkel e die eulersche Zahl und i die imaginare Einheit ist Die Bewegungsfunktion x Z t und Geschwindigkeit x Z t displaystyle dot chi Z t nbsp eines Partikels Z kann dann in der Rastebene als x Z t s t e i f t Z z z s i w e i f Z s i w z s displaystyle chi Z t s t e mathrm i varphi t Z z quad rightarrow quad dot z dot s mathrm i omega e mathrm i varphi Z dot s mathrm i omega z s nbsp geschrieben werden wobei zuletzt auf die Angabe des Zeitparameters t der Ubersichtlichkeit halber verzichtet wurde Der Punkt s bezeichnet einen sich bewegenden Bezugspunkt in dem der Ursprung des Gangkoordinatensystems liegt und die Drehgeschwindigkeit w ergibt sich aus der Zeitableitung des Drehwinkels w f displaystyle omega dot varphi nbsp Diese sei konstant w f 0 displaystyle dot omega ddot varphi 0 nbsp Der erste Pol der Momentanpol ist derjenige Punkt p1 in dem die Geschwindigkeit null ist z s i w z s 0 p 1 s s i w s s i w 1 displaystyle dot z dot s mathrm i omega z s 0 quad rightarrow quad p 1 s frac dot s mathrm i omega s frac dot s mathrm i omega 1 nbsp Der zweite Pol der Beschleunigungspol ist derjenige Punkt p2 in dem die Beschleunigung verschwindet z s i w z s s i w 2 z s 0 p 2 s 1 i w 2 s displaystyle ddot z ddot s mathrm i omega dot z dot s ddot s mathrm i omega 2 z s 0 quad rightarrow quad p 2 s frac 1 mathrm i omega 2 ddot s nbsp nbsp n te Zeitableitung s n im Bezugspunkt s und n ter Pol pnAuf die gleiche Weise ermitteln sich die hoheren Ableitungen z 3 s 3 i w z s s 3 i w 3 z s 0 p 3 s 1 i w 3 s 3 z 4 s 4 i w z 3 s 3 s 4 i w 4 z s 0 p 4 s 1 i w 4 s 4 z n s n i w z n 1 s n 1 s n i w n z s 0 p n s 1 i w n s n displaystyle begin array rclclcl z 3 amp amp s 3 mathrm i omega ddot z ddot s amp amp s 3 mathrm i omega 3 z s 0 amp rightarrow amp p 3 s frac 1 mathrm i omega 3 s 3 z 4 amp amp s 4 mathrm i omega z 3 s 3 amp amp s 4 mathrm i omega 4 z s 0 amp rightarrow amp p 4 s frac 1 mathrm i omega 4 s 4 amp vdots amp amp vdots amp amp vdots amp z n amp amp s n mathrm i omega z n 1 s n 1 amp amp s n mathrm i omega n z s 0 amp rightarrow amp p n s frac 1 mathrm i omega n s n end array nbsp Die Folge p1 p2 p3 ist die Bereis sche Polkette Die Identitat i e i p 2 displaystyle mathrm i e mathrm i frac pi 2 nbsp fuhrt mit p n s e i n p 2 s n w n s e i p n p 2 s n w n displaystyle p n s e mathrm i frac n pi 2 frac s n omega n s e mathrm i left pi frac n pi 2 right frac s n omega n nbsp auf die Konstruktion im Bild Polkette und Zeitableitung Bearbeiten nbsp n te Zeitableitung z n im Punkt z und n ter Pol pnDurch Addition einer null kann die n te Zeitableitung der Bewegung vorteilhaft mit dem n ten Pol geschrieben werden z n s n i w n z p n p n s s n i w n p n s p n n 0 i w n z p n z n i w n z p n e i n p 2 w n z p n displaystyle begin array rcl z n amp amp s n mathrm i omega n z p n p n s underbrace s n mathrm i omega n p n s p n n 0 mathrm i omega n z p n rightarrow z n amp amp mathrm i omega n z p n e mathrm i frac n pi 2 omega n z p n end array nbsp Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit schliesst die n te Zeitableitung der Bewegung mit dem wn fachen Richtungsvektor zum n ten Pol gegen den Uhrzeigersinn den n fachen rechten Winkel ein siehe Bild Beispiel Bearbeiten nbsp Rastpol und Gangpolbahn bei einem auf einer Kreisbahn umlaufenden und entgegengesetzt rotierenden Kreuzschieber Animation 544 kB Die Bereis sche Polkette des im Bild animierten Systems soll berechnet werden Der Mittelpunkt s des Kreuzschiebers bewege sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit W auf der Kreisbahn mit dem Radius R um den Ursprung s R e i W t displaystyle s Re mathrm i Omega t nbsp Der Kreuzschieber dreht sich mit entgegengesetzt gleich grosser Winkelgeschwindigkeit w W um seinen Mittelpunkt Entsprechend lautet die Bewegungsfunktion und die Geschwindigkeit z R e i W t e i W t Z z i W R e i W t i W e i W t Z i W R e i W t i W z R e i W t 2 i W R e i W t i W z displaystyle begin array rcl z amp amp Re mathrm i Omega t e mathrm i Omega t Z rightarrow dot z amp amp mathrm i Omega Re mathrm i Omega t mathrm i Omega e mathrm i Omega t Z mathrm i Omega Re mathrm i Omega t mathrm i Omega z Re mathrm i Omega t 2 mathrm i Omega Re mathrm i Omega t mathrm i Omega z end array nbsp Somit berechnet sich die Polkette z 1 2 i W R e i W t i W z 0 p 1 2 R e i W t z 2 2 i W 2 R e i W t i W z 1 2 i W 2 R e i W t i W 2 i W R e i W t i W z i W 2 z 0 p 2 0 z 3 i W 2 z 1 0 p 3 p 1 displaystyle begin array rclcl z 1 amp amp 2 mathrm i Omega Re mathrm i Omega t mathrm i Omega z 0 amp rightarrow amp p 1 2Re mathrm i Omega t z 2 amp amp 2 mathrm i Omega 2 Re mathrm i Omega t mathrm i Omega z 1 2 mathrm i Omega 2 Re mathrm i Omega t mathrm i Omega 2 mathrm i Omega Re mathrm i Omega t mathrm i Omega z amp amp mathrm i Omega 2 z 0 amp rightarrow amp p 2 0 z 3 amp amp mathrm i Omega 2 z 1 0 amp rightarrow amp p 3 p 1 end array nbsp Der vierte Pol ware dann wieder im Ursprung Die Pole springen zwischen dem Ursprung und dem Momentanpol hin und her p n 0 falls n gerade 2 R e i W t falls n ungerade displaystyle p n begin cases 0 quad amp text falls n gerade 2Re mathrm i Omega t quad amp text falls n ungerade end cases nbsp Die n te Zeitableitung der Bewegung an einem Ort z kann mit diesen Polen schnell angegeben werden z n e i n p 2 W n z p n e i n p 2 W n z falls n gerade e i n p 2 W n z 2 R e i W t falls n ungerade displaystyle z n e mathrm i frac n pi 2 Omega n z p n begin cases e mathrm i frac n pi 2 Omega n z quad amp text falls n gerade e mathrm i frac n pi 2 Omega n z 2Re mathrm i Omega t quad amp text falls n ungerade end cases nbsp Fur den Mittelpunkt des Kreuzschiebers berechnet sich z n e i n p 2 W n R e i W t i W n R e i W t falls n gerade e i n p 2 W n R e i W t 2 R e i W t e i n p 2 W n R e i W t i W n R e i W t falls n ungerade i W n R e i W t displaystyle begin array rcl z n amp amp begin cases e mathrm i frac n pi 2 Omega n Re mathrm i Omega t mathrm i Omega n Re mathrm i Omega t quad amp text falls n gerade e mathrm i frac n pi 2 Omega n Re mathrm i Omega t 2Re mathrm i Omega t e mathrm i frac n pi 2 Omega n Re mathrm i Omega t mathrm i Omega n Re mathrm i Omega t quad amp text falls n ungerade end cases amp amp mathrm i Omega n Re mathrm i Omega t end array nbsp was zu erwarten war Einzelnachweise Bearbeiten R Bereis Die Fernpolstellung der ebenen Bewegung in den Veroffentlichungen der Technischen Hochschule Wien Ausgabe 11 1953 Literatur BearbeitenK Luck K H Modler Getriebetechnik Analyse Synthese Optimierung Springer 1990 ISBN 978 3 211 82147 3 G Bar Ebene Kinematik Script zur Vorlesung Institut fur Geometrie TU Dresden tu dresden de PDF abgerufen am 1 April 2015 Enthalt weitere Literaturempfehlungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bereissche Polkette amp oldid 222086997
