www.wikidata.de-de.nina.az

Zindlerkurve Eine ist eine geschlossene doppelpunktfreie Kurve in der Ebene mit der Eigenschaft dassZindler Kurve Jede d

Zindlerkurve

Eine Zindlerkurve ist eine geschlossene doppelpunktfreie Kurve in der Ebene mit der Eigenschaft, dass

Zindler-Kurve: Jede der gleich langen Sehnen halbiert die Länge der Kurve und ihren Flächeninhalt.
Beispiele von Zindlerkurven: konvexe (rot) und nicht konvexe

Das einfachste Beispiel für eine Zindlerkurve ist ein Kreis. Konrad Zindler entdeckte 1921, dass es weitere solche Kurven gibt, und beschrieb ein Konstruktionsverfahren. Herman Auerbach war 1938 der Erste, der den Namen Zindlerkurven (courbes de Zindler) benutzte.

Eine äquivalente charakterisierende Eigenschaft der Zindlerkurven ist, dass

Beispiele:
Jede der von dem Scharparameter abhängigen Kurven (der Einfachheit halber in der komplexen Ebene beschrieben)

ist für eine Zindlerkurve.
Für ist die Kurve sogar konvex.
In der Zeichnung sind die Kurven für (blau), (grün) und (rot) zu sehen.
Ab ist die Kurve von einem Gleichdick ableitbar.

Die Kurve mit a=4 ist KEINE Zindlerkurve, weil es Sehnen gibt, die einen dritten Punkt mit der Kurve gemeinsam haben.

Nachweis der Eigenschaft (L): Aus der Ableitung

Damit ist eine -periodische Funktion und es gilt für jedes die Gleichung

Letzteres ist damit auch die halbe Länge der Kurve. Die Sehnen, die die Kurvenlänge halbieren, lassen sich also durch Kurvenpunkte mit beschreiben. Für die Länge solch einer Sehne ergibt sich

und diese ist damit unabhängig von .

Für gibt es unter den hier beschriebenen Sehnen welche, die mit der Kurve einen dritten Punkt gemeinsam haben (s. Bild). Also können nur die Kurven der Beispielschar mit Zindlerkurven sein. (Der Beweis, dass für die verwendeten Sehnen keine weiteren Punkte mit der Kurve gemeinsam haben, wurde hier nicht geführt.)

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. W. Wunderlich: Algebraische Beispiele ebener und räumlicher Zindler-Kurven. Publ. Math. Debrecen 24 (1977), 289–297 (S. 291).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine Zindlerkurve ist eine geschlossene doppelpunktfreie Kurve in der Ebene mit der Eigenschaft dassZindler Kurve Jede der gleich langen Sehnen halbiert die Lange der Kurve und ihren Flacheninhalt Beispiele von Zindlerkurven konvexe rot und nicht konvexe L alle Sehnen die die Kurve halbieren gleich lang sind Das einfachste Beispiel fur eine Zindlerkurve ist ein Kreis Konrad Zindler entdeckte 1921 dass es weitere solche Kurven gibt und beschrieb ein Konstruktionsverfahren Herman Auerbach war 1938 der Erste der den Namen Zindlerkurven courbes de Zindler benutzte Eine aquivalente charakterisierende Eigenschaft der Zindlerkurven ist dass F alle Sehnen die die innere Flache der geschlossenen Kurve halbieren gleich lang sind Es handelt sich dabei um die gleichen Sehnen die auch die Kurvenlange halbieren Beispiele 1 Jede der von dem Scharparameter a displaystyle a abhangigen Kurven der Einfachheit halber in der komplexen Ebene beschrieben z u x u i y u e 2 i u 2 e i u a e i u 2 u 0 4 p displaystyle z u x u iy u e 2iu 2e iu ae iu 2 u in 0 4 pi ist fur a gt 4 displaystyle a gt 4 eine Zindlerkurve Fur a 24 displaystyle a geq 24 ist die Kurve sogar konvex In der Zeichnung sind die Kurven fur a 8 displaystyle a 8 blau a 16 displaystyle a 16 grun und a 24 displaystyle a 24 rot zu sehen Ab a 8 displaystyle a geq 8 ist die Kurve von einem Gleichdick ableitbar Die Kurve mit a 4 ist KEINE Zindlerkurve weil es Sehnen gibt die einen dritten Punkt mit der Kurve gemeinsam haben Nachweis der Eigenschaft L Aus der Ableitung z u i 2 e 2 i u 2 e i u a 2 e i u 2 displaystyle z u i Big 2e 2iu 2e iu frac a 2 e iu 2 Big ergibt sich z u 2 z u z u 8 a 2 4 8 cos 3 u displaystyle z u 2 z u overline z u cdots 8 frac a 2 4 8 cos 3u Damit ist z u displaystyle z u eine 2 p displaystyle 2 pi periodische Funktion und es gilt fur jedes u 0 displaystyle u 0 die Gleichung u 0 u 0 2 p z u d u 0 2 p z u d u displaystyle int u 0 u 0 2 pi z u du int 0 2 pi z u du Letzteres ist damit auch die halbe Lange der Kurve Die Sehnen die die Kurvenlange halbieren lassen sich also durch Kurvenpunkte z u 0 z u 0 2 p displaystyle z u 0 z u 0 2 pi mit u 0 0 4 p displaystyle u 0 in 0 4 pi beschreiben Fur die Lange solch einer Sehne ergibt sich z u 0 2 p z u 0 2 a e i u 0 2 2 a displaystyle z u 0 2 pi z u 0 cdots 2ae iu 0 2 2a und diese ist damit unabhangig von u 0 displaystyle u 0 Fur a 4 displaystyle a 4 gibt es unter den hier beschriebenen Sehnen welche die mit der Kurve einen dritten Punkt gemeinsam haben s Bild Also konnen nur die Kurven der Beispielschar mit a gt 4 displaystyle a gt 4 Zindlerkurven sein Der Beweis dass fur a gt 4 displaystyle a gt 4 die verwendeten Sehnen keine weiteren Punkte mit der Kurve gemeinsam haben wurde hier nicht gefuhrt Literatur BearbeitenHerman Auerbach Sur un probleme de M Ulam concernant l equilibre des corps flottants PDF 796 kB Studia Mathematica 7 1938 S 121 142 K L Mampel Uber Zindlerkurven Journal fur reine und angewandte Mathematik 234 1969 S 12 44 Konrad Zindler Uber konvexe Gebilde II Teil Monatshefte fur Mathematik und Physik 31 1921 S 25 56 Einzelnachweise Bearbeiten W Wunderlich Algebraische Beispiele ebener und raumlicher Zindler Kurven Publ Math Debrecen 24 1977 289 297 S 291 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zindlerkurve amp oldid 226928259