Vergleichssatz Dieser Artikel befasst sich mit dem in der Mathematik Für den in der Grammatik siehe Komparativsatz Vergl

Vergleichssatz

Vergleichssätze (englisch: comparison principle) sind in der Theorie von Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, um Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen treffen zu können. Diese sind insbesondere deshalb wichtig, da man für solche Gleichungen oftmals keine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen Bearbeiten

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Aussagen über Lösungen von (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen, welche man nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d. h., ist für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da es jedoch nicht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, ist es aus praktischen Gründen notwendig, auch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen zu können, da diese leichter zu konstruieren sind.

Formulierung Bearbeiten

Es sei , stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien eine Ober- bzw. Unterlösung von , d. h., es gelte für alle mit

für alle . Gilt zudem , so folgt

für alle .

Variante Bearbeiten

Analog gilt, wobei man durch ersetze: Falls , so folgt für alle .

Beweis Bearbeiten

Sei und . Angenommen, . Für folgt auf und . Man fixiere ein . Es ist eine kompakte Teilmenge von . Da lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein mit

für alle und . Es folgt

für alle , also für alle . Integration liefert , also für alle . Aus der Stetigkeit von folgt der Widerspruch .

Beispiel Bearbeiten

Man betrachte das Anfangswertproblem

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung . Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen und . Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf und , gilt für alle . Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass , d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung . Somit ist streng monoton fallend.

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen Bearbeiten

Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, etwa für die nichtlineare parabolische Differentialgleichung. Als Verallgemeinerung des schwachen Maximumprinzips erlauben die Vergleichssätze Aussagen insbesondere über die Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur Bearbeiten

Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190–194

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 00:40 am

Dieser Artikel befasst sich mit dem Vergleichssatz in der Mathematik Fur den Vergleichssatz in der Grammatik siehe Komparativsatz Vergleichssatze englisch comparison principle sind in der Theorie von Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel um Aussagen uber das Verhalten von Losungen dieser Gleichungen treffen zu konnen Diese sind insbesondere deshalb wichtig da man fur solche Gleichungen oftmals keine expliziten Losungsformeln angeben kann Inhaltsverzeichnis 1 Vergleichssatz fur gewohnliche Differentialgleichungen 1 1 Formulierung 1 1 1 Variante 1 1 2 Beweis 1 2 Beispiel 2 Vergleichssatze fur partielle Differentialgleichungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseVergleichssatz fur gewohnliche Differentialgleichungen BearbeitenIn der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel um Aussagen uber Losungen von skalaren Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen welche man nicht explizit ausrechnen kann Anschaulich bedeutet er dass Losungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben d h ist u a lt v a displaystyle u a lt v a nbsp fur zwei Losungen einer skalaren Differentialgleichung so bleibt u x lt v x displaystyle u x lt v x nbsp auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich Ist insbesondere eine Losung der Differentialgleichung explizit bekannt so gewinnt man daraus Abschatzungen fur nicht explizit ausrechenbare Losungen Da es jedoch nicht immer moglich ist explizite Losungen aufzufinden ist es aus praktischen Grunden notwendig auch mit Ober bzw Unterlosungen vergleichen zu konnen da diese leichter zu konstruieren sind Formulierung Bearbeiten Es sei D R displaystyle D subset mathbb R nbsp F a b D R displaystyle F a b times D rightarrow mathbb R nbsp stetig und lokal Lipschitz stetig in der zweiten Variablen Weiter seien y y C a b C 1 a b displaystyle y y in C a b cap C 1 a b nbsp eine Ober bzw Unterlosung von y F x y displaystyle y F x y nbsp d h es gelte y x y x D displaystyle y x y x in D 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displaystyle K y x x in s 0 x 0 cup y x x in s 0 x 0 nbsp eine kompakte Teilmenge von D displaystyle D nbsp Da F displaystyle F nbsp lokal Lipschitz stetig in der zweiten Variablen gibt es ein L 0 displaystyle L geq 0 nbsp mit F x y F x z L y z displaystyle F x y F x z leq L y z nbsp fur alle x s 0 x 0 displaystyle x in s 0 x 0 nbsp und y z K displaystyle y z in K nbsp Es folgt d x y x y x F x y x F x y x L y x y x L d x displaystyle d x y x y x geq F x y x F x y x geq L y x y x L cdot d x nbsp fur alle x s 0 x 0 displaystyle x in s 0 x 0 nbsp also d x d x L displaystyle frac d x d x geq L nbsp fur alle x s 0 x 0 displaystyle x in s 0 x 0 nbsp Integration liefert ln d x ln d s 0 L x s 0 displaystyle ln d x ln d s 0 geq L x s 0 nbsp also d x d s 0 e L x s 0 displaystyle d x geq d s 0 e L x s 0 nbsp fur alle x s 0 x 0 displaystyle x in s 0 x 0 nbsp Aus der Stetigkeit von d displaystyle d nbsp folgt der Widerspruch d x 0 d s 0 e L x 0 s 0 gt 0 displaystyle d x 0 geq d s 0 e L x 0 s 0 gt 0 nbsp displaystyle Box nbsp Beispiel Bearbeiten Man betrachte das Anfangswertproblem y y 6 64 1 x 2 y 2 y 0 1 displaystyle y frac y 6 64 1 x 2 y 2 y 0 1 nbsp Es besitzt eine nicht fortsetzbare Losung y D R displaystyle y D rightarrow mathbb R nbsp Die Differentialgleichung hat die trivialen Losungen y 1 x 2 displaystyle y 1 x equiv 2 nbsp und y 2 x 2 displaystyle y 2 x equiv 2 nbsp Gemass dem Vergleichssatz jeweils angewandt auf y y 1 displaystyle y y 1 nbsp und y y 2 displaystyle y y 2 nbsp gilt 2 lt y x lt 2 displaystyle 2 lt y x lt 2 nbsp fur alle x D displaystyle x in D nbsp Insbesondere folgt aus dem Satz uber das maximale Existenzintervall dass D R displaystyle D mathbb R nbsp d h die Losung existiert global Zudem liefert die Abschatzung y lt 0 displaystyle y lt 0 nbsp Somit ist y displaystyle y nbsp streng monoton fallend displaystyle Box nbsp Vergleichssatze fur partielle Differentialgleichungen BearbeitenAuch fur partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssatze etwa fur die nichtlineare parabolische Differentialgleichung 1 Als Verallgemeinerung des schwachen Maximumprinzips erlauben die Vergleichssatze Aussagen insbesondere uber die Losungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen Literatur BearbeitenWolfgang Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1996 ISBN 3 540 59038 2 Einzelnachweise Bearbeiten Gerhard Dziuk Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen de Gruyter Berlin 2010 ISBN 978 3 11 014843 5 Seite 190 194 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vergleichssatz amp oldid 222858517