Die verallgemeinerte Konvexitat englisch generalized convexity ist eine Verallgemeinerung des gewohnlichen Konvexitatsbegriff fur Funktionen und Mengen die sich insbesondere bei der Behandlung nicht konvexer Optimierungsprobleme als nutzlich erweist Inhaltsverzeichnis 1 F Konvexitat 1 1 F konvexe Funktion 1 2 F konvexe Menge 2 Beispiele 3 Siehe auch 4 LiteraturF Konvexitat BearbeitenGegeben sei eine Menge X displaystyle X neq emptyset nbsp und die Menge aller Abbildungen von X displaystyle X nbsp nach R displaystyle mathbb R nbsp F X f f X R displaystyle F X varphi mid varphi colon X to mathbb R nbsp Eine Menge F F X displaystyle Phi subseteq F X nbsp heisst Referenzsystem fur X displaystyle X nbsp genau dann wenn gilt f F l 0 l f F displaystyle forall varphi in Phi lambda geq 0 lambda varphi in Phi nbsp f F c R f c F displaystyle forall varphi in Phi c in mathbb R varphi c in Phi nbsp F konvexe Funktion Bearbeiten Eine erweiterte reellwertige Funktion f X R displaystyle f colon X mapsto overline mathbb R nbsp heisst F displaystyle Phi nbsp konvex genau dann wenn eine Menge F 0 F displaystyle Phi 0 subset Phi nbsp existiert so dass f x sup f F 0 f x displaystyle f x sup varphi in Phi 0 varphi x nbsp gilt F konvexe Menge Bearbeiten Eine Menge A X displaystyle A subseteq X nbsp heisst F displaystyle Phi nbsp konvex genau dann wenn es eine Menge F 0 F displaystyle Phi 0 subseteq Phi nbsp gibt und zu jedem f F 0 displaystyle varphi in Phi 0 nbsp ein a f displaystyle a varphi nbsp existiert so dass A f F 0 x X f x a ϕ displaystyle A bigcap varphi in Phi 0 x in X varphi x leq a phi nbsp Beispiele BearbeitenNimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen also F f f x v x c v R n c R displaystyle Phi varphi varphi x langle v x rangle c v in mathbb R n c in mathbb R nbsp dann stimmt die F displaystyle Phi nbsp Konvexitat mit der gewohnlichen Konvexitat uberein Die Lipschitz stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak Funktionen F f f x k d x x 0 c x 0 X c R displaystyle Phi varphi varphi x k cdot d x x 0 c x 0 in X c in mathbb R nbsp F displaystyle Phi nbsp konvex Siehe auch BearbeitenKonvexe Funktion Konvexe Menge Konvexe OptimierungLiteratur BearbeitenSzymon Dolecki Stanisl Aw Kurcyusz On F displaystyle Phi nbsp Convexity in Extremal Problems In SIAM Journal on Control and Optimization Band 16 Nr 2 1978 S 277 300 doi 10 1137 0316018 aip org Diethard Pallaschke Rolewicz S Foundations of Mathematical Optimization Convex Analysis Without Linearity Kluwer Academic Publishers 1997 ISBN 0 7923 4424 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verallgemeinerte Konvexitat amp oldid 228082369
