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Steinersche Fläche n sind in der Projektiven Geometrie spezielle Flächen auf denen Scharen von Kegelschnitten liegen Sie

Steinersche Fläche

Steinersche Flächen sind in der Projektiven Geometrie spezielle Flächen, auf denen Scharen von Kegelschnitten liegen. Sie sind nach Jakob Steiner (1796–1863) benannt, der sie 1838 bei seinem Aufenthalt in Rom fand. Spezielle Steinerflächen werden deshalb auch Römer- oder Römische Flächen genannt. Die Steinerschen Flächen sind von Ernst Eduard Kummer und Karl Weierstraß weiter untersucht worden. Eine Steinerfläche ist eine durch quadratische Polynome in zwei Variablen gegebene Fläche im dreidimensionalen Raum:

Römische Fläche

In affinen Koordinaten ist sie durch eine Gleichung höchstens vierten Grades gegeben.

Dahinter steckt folgende Konstruktion: Man bettet die reelle projektive Ebene, gegeben durch homogene Koordinaten , in den projektiven 5-dimensionalen Raum ein, mit homogenen Koordinaten (Veronese-Fläche):

Dann projiziert man durch Multiplikation mit einer 6 × 4-Matrix auf den vierdimensionalen Raum, was vier Linearkombinationen der oben angegebenen sechs homogenen Koordinaten ergibt: . Als homogene Koordinaten des dreidimensionalen projektiven Raums aufgefasst (bei diesem Übergang entstehen Singularitäten der Fläche) ergibt sich die oben angegebene Darstellung der Steinerfläche.

Beispiele Bearbeiten

Die Römische Fläche von Steiner ist durch

gegeben. Die Darstellung ist homogen in den , so dass sich leicht weitere Parametrisierungen ergeben, wenn man mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert (siehe unten). Sie hat drei Doppel-Linien, sechs Verzweigungspunkte und einen Dreifachpunkt. Die drei Doppellinien, an denen sich die Fläche selbst durchdringt, treffen sich im Dreifachpunkt. Die Fläche ist nicht orientierbar (das heißt einseitig wie das Möbiusband), genauso wie die projektive Ebene, deren Einbettung in den dreidimensionalen Raum sie gemäß obiger Konstruktion darstellt. In affinen Koordinaten hat sie die Gleichung:

Weitere Parametrisierungen der Gleichung sind gegeben durch:

was sich durch Ausnutzung der Homogenität der Darstellung in der Form ergibt, und

Sie ergibt sich aus der Parametrisierung der Einheitssphäre

und der Abbildung

Die Kreuzhaube ist gegeben durch:

In affinen Koordinaten:

Coffman, Schwartz und Stanton klassifizierten die möglichen Steinerflächen in 10 Typen.

Literatur Bearbeiten

  • A. Coffman, A. Schwartz, C. Stanton: The Algebra and Geometry of Steiner and other Quadratically Parametrizable Surfaces. In: Computer Aided Geometric Design, (3) 13, April 1996, S. 257–286
  • Bert Jüttler, Ragni Piene: Geometric Modeling and Algebraic Geometry. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-72184-0, S. 30 ff. (eingeschränkte Online-Version in der Google-Buchsuche-USA)
  • Steinersche Fläche. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 18, Bibliographisches Institut, Leipzig/Wien 1909, S. 900.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Eine weitere Einbettung der projektiven Ebene ist durch die Boysche Fläche gegeben, die keine Steinersche Fläche ist.
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Steinersche Flachen sind in der Projektiven Geometrie spezielle Flachen auf denen Scharen von Kegelschnitten liegen Sie sind nach Jakob Steiner 1796 1863 benannt der sie 1838 bei seinem Aufenthalt in Rom fand Spezielle Steinerflachen werden deshalb auch Romer oder Romische Flachen genannt Die Steinerschen Flachen sind von Ernst Eduard Kummer und Karl Weierstrass weiter untersucht worden Eine Steinerflache ist eine durch quadratische Polynome p i A u 2 B u v C v 2 D u E v F displaystyle p i Au 2 Buv Cv 2 Du Ev F i 0 1 2 3 displaystyle i 0 1 2 3 in zwei Variablen u v displaystyle u v gegebene Flache im dreidimensionalen Raum Romische Flache x y z p 1 p 0 p 2 p 0 p 3 p 0 displaystyle x y z left frac p 1 p 0 frac p 2 p 0 frac p 3 p 0 right In affinen Koordinaten ist sie durch eine Gleichung hochstens vierten Grades gegeben Dahinter steckt folgende Konstruktion Man bettet die reelle projektive Ebene gegeben durch homogene Koordinaten u 0 u 1 u 2 displaystyle u 0 u 1 u 2 in den projektiven 5 dimensionalen Raum ein mit homogenen Koordinaten Veronese Flache u 0 2 u 1 2 u 2 2 u 1 u 2 u 0 u 2 u 0 u 1 displaystyle u 0 2 u 1 2 u 2 2 u 1 u 2 u 0 u 2 u 0 u 1 Dann projiziert man durch Multiplikation mit einer 6 4 Matrix auf den vierdimensionalen Raum was vier Linearkombinationen der oben angegebenen sechs homogenen Koordinaten ergibt p 0 p 1 p 2 p 3 displaystyle p 0 p 1 p 2 p 3 Als homogene Koordinaten des dreidimensionalen projektiven Raums aufgefasst bei diesem Ubergang entstehen Singularitaten der Flache ergibt sich die oben angegebene Darstellung der Steinerflache Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Literatur 3 Weblinks 4 Einzelnachweise und AnmerkungenBeispiele BearbeitenDie Romische Flache von Steiner ist durch p 0 p 1 p 2 p 3 u 0 2 u 1 2 u 2 2 u 1 u 2 u 0 u 2 u 0 u 1 displaystyle p 0 p 1 p 2 p 3 u 0 2 u 1 2 u 2 2 u 1 u 2 u 0 u 2 u 0 u 1 nbsp gegeben Die Darstellung ist homogen in den u i displaystyle u i nbsp so dass sich leicht weitere Parametrisierungen ergeben wenn man mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert siehe unten Sie hat drei Doppel Linien sechs Verzweigungspunkte und einen Dreifachpunkt Die drei Doppellinien an denen sich die Flache selbst durchdringt treffen sich im Dreifachpunkt Die Flache ist nicht orientierbar das heisst einseitig wie das Mobiusband genauso wie die projektive Ebene deren Einbettung in den dreidimensionalen Raum sie gemass obiger Konstruktion darstellt 1 In affinen Koordinaten hat sie die Gleichung x 2 y 2 x 2 z 2 y 2 z 2 x y z 0 displaystyle x 2 y 2 x 2 z 2 y 2 z 2 xyz 0 nbsp Weitere Parametrisierungen der Gleichung sind gegeben durch x s 1 s 2 t 3 displaystyle x frac s 1 s 2 t 3 nbsp y s t 1 s 2 t 3 displaystyle y frac s cdot t 1 s 2 t 3 nbsp z t 1 s 2 t 3 displaystyle z frac t 1 s 2 t 3 nbsp was sich durch Ausnutzung der Homogenitat der Darstellung in der Form p 1 p 0 p 2 p 0 p 3 p 0 displaystyle left frac p 1 p 0 frac p 2 p 0 frac p 3 p 0 right nbsp ergibt und x cos u sin u cos v 2 displaystyle x cos u cdot sin u cdot cos v 2 nbsp y sin u cos v sin v displaystyle y sin u cdot cos v cdot sin v nbsp z cos u cos v sin v displaystyle z cos u cdot cos v cdot sin v nbsp Sie ergibt sich aus der Parametrisierung der Einheitssphare x y z cos u cos v sin u cos v sin v displaystyle x y z cos u cos v sin u cos v sin v nbsp und der Abbildung x y z x y y z x z cos u sin u cos v 2 sin u cos v sin v cos u cos v sin v displaystyle x y z mapsto xy yz xz cos u sin u cos v 2 sin u cos v sin v cos u cos v sin v nbsp Die Kreuzhaube ist gegeben durch p 0 p 1 p 2 p 3 u 0 2 u 1 2 u 2 2 u 1 u 2 2 u 0 u 1 u 0 2 u 1 2 displaystyle p 0 p 1 p 2 p 3 u 0 2 u 1 2 u 2 2 u 1 u 2 2u 0 u 1 u 0 2 u 1 2 nbsp In affinen Koordinaten 4 x 2 x 2 y 2 z 2 z y 2 y 2 z 2 1 0 displaystyle 4x 2 x 2 y 2 z 2 z y 2 y 2 z 2 1 0 nbsp Coffman Schwartz und Stanton klassifizierten die moglichen Steinerflachen in 10 Typen Literatur BearbeitenA Coffman A Schwartz C Stanton The Algebra and Geometry of Steiner and other Quadratically Parametrizable Surfaces In Computer Aided Geometric Design 3 13 April 1996 S 257 286 Bert Juttler Ragni Piene Geometric Modeling and Algebraic Geometry Springer 2008 ISBN 978 3 540 72184 0 S 30 ff eingeschrankte Online Version in der Google Buchsuche USA Steinersche Flache In Meyers Grosses Konversations Lexikon 6 Auflage Band 18 Bibliographisches Institut Leipzig Wien 1909 S 900 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Steiner Surface In MathWorld englisch Eric W Weisstein Roman Surface In MathWorld englisch Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Eine weitere Einbettung der projektiven Ebene ist durch die Boysche Flache gegeben die keine Steinersche Flache ist Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Steinersche Flache amp oldid 214573745