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Stationarität stationäre Präferenz Stationarität spielt eine wesentliche Rolle im Rahmen rationaler intertemporaler Ents

Stationarität (stationäre Präferenz)

Stationarität spielt eine wesentliche Rolle im Rahmen rationaler intertemporaler Entscheidungen. In diesem Zusammenhang muss die Entwicklung bzw. Veränderlichkeit von Präferenzen im Zeitablauf berücksichtigt bzw. ausgeschlossen werden.

Notation Bearbeiten

Zur Erklärung wird folgende Notation verwendet:

  • Es existiert eine endliche Menge, bekannter Perioden mit .
  • Die Menge ist durch die drei Alternativen definiert. Jede Alternative wird durch einen Ergebnisvektor beschrieben, so z. B. , wobei das Ergebnis der Periode beschreibt.
  • Die Menge mit beschreibt die bekannten Ergebnisse, die in der Periode mit Sicherheit aus den verschiedenen Alternativen resultieren. Für folgt z. B.: . bezeichnet die Menge der Ergebnisse der Alternativen in der Periode 1, ist die Menge der Ergebnisse der Alternativen der Periode 2 usw.
  • Die Präferenzrelation liegt demzufolge auf dem kartesischen Produkt .
  • Die Festlegung der Präferenzen des Akteurs und damit die Entscheidung für eine der Alternativen wird zu verschiedenen Zeitpunkten mit möglich. Der Zeitpunkt stellt die Gegenwart dar.
  • Die zum Zeitpunkt geäußerte Präferenzrelation erhält die Notation . Wird die Präferenz in der Gegenwart abgefragt, folgt: .
  • Unabhängig vom relativen zeitlichen Abstand zwischen zwei Ergebnissen kann der absolute Abstand dieser Ergebnisse zum heutigen Zeitpunkt verändert werden. Dazu werden die Ergebnisse gemeinsam um denselben Zeitraum in die Zukunft verlagert, wobei . Dies wird notiert mit: , usw.
  • Weiterhin ist es denkbar, dass auch der Zeitpunkt für die Äußerung der Präferenzen und damit für die Entscheidung in die Zukunft verschoben wird. Legt der Akteur in seine Präferenzordnung fest, gilt: , für einen späteren Zeitpunkt gilt: mit .
  • Wenn Präferenzen vorliegen, die im Zeitablauf mehrfach geäußert bzw. abgefragt werden, so folgt die Präferenzordnung: .

Eigenschaften der Stationarität, Zeitkonsistenz sowie Zeitinvarianz Bearbeiten

Es werden folgende drei wichtige Eigenschaften von intertemporalen Präferenzrelationen beschrieben:

  • Stationarität,
  • Zeitkonsistenz sowie
  • Zeitinvarianz.

Die Stationarität wird in der folgenden Definition beschrieben.

Definition 1 (Stationarität):

Die Entscheidung in über die beiden Alternativen darf nur von der Höhe der Zahlungen und sowie von der relativen Zeitdistanz zwischen diesen Zahlungen abhängen. Hingegen darf die Entfernung dieser Zeitdistanz vom heutigen Entscheidungspunkt keine Rolle bei der Entscheidung spielen.

Es wird gefordert, dass der Akteur im Entscheidungszeitpunkt, also in , die Präferenzen über zukünftige Entscheidungen in dem Sinne ordnet, dass es unerheblich ist, wie weit die Ereignisse in der Zukunft liegen. Das Beispiel 1 erläutert die Eigenschaft.

Beispiel 1:

Ein Akteur wird gebeten, sich die zwei folgenden Entscheidungsprobleme zu betrachten und für jedes Problem jeweils eine Präferenzordnung festzulegen.

Problem 1:

  • Alternative A: Erhalt von 150 € heute
  • Alternative B: Erhalt von 200 € in 9 Monaten

Problem 2:

  • Alternative C: Erhalt von 150 € in 10 Jahren
  • Alternative D: Erhalt von 200 € in 10 Jahren und 9 Monaten

Wenn die Präferenzen des Akteurs stationär sind und für ihn im ersten Problem gilt , so muss für das zweite Problem gelten: .

Für die Entscheidung soll ausschließlich die Zeitdifferenz zwischen den Ergebnissen relevant sein.

Eine weitere Eigenschaft von Präferenzen ist Zeitkonsistenz (vgl. Definition 2). Die Beziehung zwischen den Präferenzen zu unterschiedlichen Zeitpunkten ist konsistent, wenn eine ursprünglich (also in ) als optimal identifizierte Alternative auch später (also in ) weiterhin optimal bleibt.

Definition 2 (Zeitkonsistenz):

Eine Änderung des Betrachtungszeitpunktes von zu führt zu keiner Änderung der Präferenzordnung. Einmal festgelegte – möglicherweise jedoch unangenehme – Aktivitäten werden nicht aufgeschoben, wenn der ursprünglich dafür geplante Zeitpunkt eintritt. Wenn der Akteur heute festlegt, dass morgen Aufräumen besser ist als Nicht-Aufräumen, so muss diese Reihung auch morgen Bestand haben. Ein Aufschieben unangenehmer Tätigkeiten existiert bei zeitkonsistenten Präferenzen nicht. Diese grundlegende Anforderung an rationale intertemporale Präferenzen wurde frühzeitig formuliert. Das Beispiel 2 erläutert die Eigenschaft der Zeitkonsistenz.

Beispiel 2:

Ein Akteur kann sich zwischen Pizza (P) und Salat (S) entscheiden und legt in für die nächsten vier Mahlzeiten folgende Präferenzrelationen fest:

Nun wird angenommen, dass zwei Mahlzeiten vorüber sind, was bedeutet, dass der Akteur zwei Mal Pizza aß. Er befindet sich also am Ende von Periode . Zeitkonsistenz verlangt nun vom Akteur, für die dritte Mahlzeit in – selbst nach Genuss von zwei Mal Pizza – wiederum Pizza anstatt Salat zu wählen. Es muss also gelten:

Der wesentliche Unterschied zwischen Zeitkonsistenz und wechselseitiger Unabhängigkeit ist folgender: Die Unabhängigkeit der Präferenzen wird zu einem Zeitpunkt (i. d. R. ) beurteilt. Bei der Zeitkonsistenz hingegen werden die Präferenzen aus zwei unterschiedlichen Zeitpunkten miteinander verglichen.

Letzte Eigenschaft ist die Zeitinvarianz (vgl. Definition 3).

Definition 3 (Zeitinvarianz):

Bei Zeitinvarianz werden sowohl der Beurteilungszeitpunkt, als auch die Ergebnisse selbst in die Zukunft verschoben. Jeweils zwei der drei Eigenschaften Stationarität, Zeitkonsistenz und Zeitinvarianz implizieren die dritte Eigenschaft. So führt z. B. die Verbindung von Zeitkonsistenz und Zeitvarianz zur Stationarität. Bei der Stationarität wird der Betrachtungs- bzw. Entscheidungspunkt fixiert und es wird der Zeitpunkt der Ereignisse variiert. Im Fall der Zeitkonsistenz hingegen wird der Zeitpunkt des Eintritts der Ereignisse fixiert und der Betrachtungszeitpunkt wird variiert. In beiden Fällen wird der relative Abstand zwischen Entscheidungs- und Eintrittszeitpunkt verändert. Die Präferenzrelation sollte trotzdem unverändert bleiben. Die Präferenz wird durch das Stationaritäts-Axiom quasi für die gesamte betrachtete Zeit eingefroren.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Vgl. Koopmans (1960).
  2. Vgl. Millner/Heal (2018: 160); Müller (2022: 198).
  3. Vgl. Müller (2022: 200).
  4. Vgl. Millner/Heal (2018: 160); Müller (2022: 200).
  5. Vgl. Strotz (1955/56).
  6. Vgl. Müller (2022: 201).
  7. Vgl. Müller (2022: 202).
  8. Vgl. Halevy (2015: 341–342); Millner/Heal (2018: 162).

Literatur Bearbeiten

  • Yoram Halevy (2015): Time consistency: stationarity and time invariance. In: Econometrica, 83 (1): 335–352.
  • Tjalling Charles Koopmans: Stationary ordinal utility and impatience. In: Econometrica, 1960, 28 (2): 287–309.
  • Antony Millner und Geoffrey Heal (2018): Time consistency and time invariance in collective intertemporal choice. In: Journal of Economic Theory, 176 (July): 158–169.
  • David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl., Berlin u. a., Springer Gabler, 2022, ISBN 978-3-658-36597-4.
  • Robert Henry Strotz: Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization. In: The Review of Economic Studies, 1955/56, 23 (3): 165–180.
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Stationaritat spielt eine wesentliche Rolle im Rahmen rationaler intertemporaler Entscheidungen 1 In diesem Zusammenhang muss die Entwicklung bzw Veranderlichkeit von Praferenzen im Zeitablauf berucksichtigt bzw ausgeschlossen werden Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Eigenschaften der Stationaritat Zeitkonsistenz sowie Zeitinvarianz 3 Einzelnachweise 4 LiteraturNotation BearbeitenZur Erklarung wird folgende Notation verwendet Es existiert eine endliche Menge bekannter Perioden N 1 2 3 n displaystyle N lbrace 1 2 3 n rbrace nbsp mit p N displaystyle p in N nbsp Die Menge A displaystyle A nbsp ist durch die drei Alternativen A x y z displaystyle A lbrace x y z rbrace nbsp definiert Jede Alternative wird durch einen Ergebnisvektor beschrieben so z B x x 1 x 2 x 3 x n displaystyle x x scriptscriptstyle 1 x scriptscriptstyle 2 x scriptscriptstyle 3 x scriptscriptstyle n nbsp wobei x p displaystyle x scriptscriptstyle p nbsp das Ergebnis der Periode p displaystyle p nbsp beschreibt Die Menge P p displaystyle P scriptscriptstyle p nbsp mit p N displaystyle p in N nbsp beschreibt die bekannten Ergebnisse die in der Periode p displaystyle p nbsp mit Sicherheit aus den verschiedenen Alternativen resultieren Fur p 1 displaystyle p 1 nbsp folgt z B P 1 x 1 y 1 z 1 displaystyle P scriptscriptstyle 1 lbrace x scriptscriptstyle 1 y scriptscriptstyle 1 z scriptscriptstyle 1 rbrace nbsp P 1 displaystyle P scriptscriptstyle 1 nbsp bezeichnet die Menge der Ergebnisse der Alternativen in der Periode 1 P 2 displaystyle P scriptscriptstyle 2 nbsp ist die Menge der Ergebnisse der Alternativen der Periode 2 usw Die Praferenzrelation displaystyle succsim nbsp liegt demzufolge auf dem kartesischen Produkt P n P 1 P 2 P n displaystyle P n P scriptscriptstyle 1 times P scriptscriptstyle 2 times times P scriptscriptstyle n nbsp Die Festlegung der Praferenzen des Akteurs und damit die Entscheidung fur eine der Alternativen wird zu verschiedenen Zeitpunkten T 0 1 2 3 displaystyle T left lbrace 0 1 2 3 infty right rbrace nbsp mit t T displaystyle t in T nbsp moglich Der Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp stellt die Gegenwart dar Die zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp geausserte Praferenzrelation erhalt die Notation t displaystyle succsim t nbsp Wird die Praferenz in der Gegenwart abgefragt folgt 0 displaystyle succsim 0 nbsp Unabhangig vom relativen zeitlichen Abstand zwischen zwei Ergebnissen kann der absolute Abstand dieser Ergebnisse zum heutigen Zeitpunkt verandert werden Dazu werden die Ergebnisse gemeinsam um denselben Zeitraum D t displaystyle Delta t nbsp in die Zukunft verlagert wobei D t gt 0 displaystyle Delta t gt 0 nbsp Dies wird notiert mit x 1 D t displaystyle x scriptscriptstyle 1 Delta t nbsp x 2 D t displaystyle x scriptscriptstyle 2 Delta t nbsp usw Weiterhin ist es denkbar dass auch der Zeitpunkt fur die Ausserung der Praferenzen und damit fur die Entscheidung in die Zukunft verschoben wird Legt der Akteur in t 0 displaystyle t 0 nbsp seine Praferenzordnung fest gilt 0 displaystyle succsim scriptscriptstyle 0 nbsp fur einen spateren Zeitpunkt gilt 0 D t displaystyle succsim scriptscriptstyle 0 Delta t nbsp mit D t gt 0 displaystyle Delta t gt 0 nbsp Wenn Praferenzen vorliegen die im Zeitablauf mehrfach geaussert bzw abgefragt werden so folgt die Praferenzordnung 0 displaystyle lbrace succsim rbrace scriptscriptstyle 0 scriptscriptstyle infty nbsp Eigenschaften der Stationaritat Zeitkonsistenz sowie Zeitinvarianz BearbeitenEs werden folgende drei wichtige Eigenschaften von intertemporalen Praferenzrelationen beschrieben Stationaritat Zeitkonsistenz sowie Zeitinvarianz Die Stationaritat wird in der folgenden Definition beschrieben 2 Definition 1 Stationaritat Die Praferenzrelation 0 displaystyle it succsim scriptscriptstyle 0 nbsp auf P n displaystyle P n nbsp ist stationar wenn gilt x p 0 y p 1 x p D t 0 y p 1 D t displaystyle it x scriptscriptstyle p succsim scriptscriptstyle 0 y scriptscriptstyle p 1 Leftrightarrow x scriptscriptstyle p Delta t succsim scriptscriptstyle 0 y scriptscriptstyle p 1 Delta t nbsp fur alle x y P n displaystyle it x y in P n nbsp alle p N displaystyle p in N nbsp alle t T displaystyle it t in T nbsp sowie D t gt 0 displaystyle Delta t gt 0 nbsp Die Entscheidung in t 0 displaystyle t 0 nbsp uber die beiden Alternativen darf nur von der Hohe der Zahlungen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp sowie von der relativen Zeitdistanz zwischen diesen Zahlungen abhangen Hingegen darf die Entfernung dieser Zeitdistanz vom heutigen Entscheidungspunkt keine Rolle bei der Entscheidung spielen Es wird gefordert dass der Akteur im Entscheidungszeitpunkt also in t 0 displaystyle t 0 nbsp die Praferenzen uber zukunftige Entscheidungen in dem Sinne ordnet dass es unerheblich ist wie weit die Ereignisse in der Zukunft liegen Das Beispiel 1 erlautert die Eigenschaft 3 Beispiel 1 Ein Akteur wird gebeten sich die zwei folgenden Entscheidungsprobleme zu betrachten und fur jedes Problem jeweils eine Praferenzordnung festzulegen Problem 1 Alternative A Erhalt von 150 heute Alternative B Erhalt von 200 in 9 MonatenProblem 2 Alternative C Erhalt von 150 in 10 Jahren Alternative D Erhalt von 200 in 10 Jahren und 9 MonatenWenn die Praferenzen des Akteurs stationar sind und fur ihn im ersten Problem gilt A 0 B displaystyle it A succ scriptscriptstyle 0 B nbsp so muss fur das zweite Problem gelten C 0 D displaystyle it C succ scriptscriptstyle 0 D nbsp Fur die Entscheidung soll ausschliesslich die Zeitdifferenz zwischen den Ergebnissen relevant sein Eine weitere Eigenschaft von Praferenzen ist Zeitkonsistenz vgl Definition 2 4 Die Beziehung zwischen den Praferenzen zu unterschiedlichen Zeitpunkten ist konsistent wenn eine ursprunglich also in t 0 displaystyle t 0 nbsp als optimal identifizierte Alternative auch spater also in t 0 D t displaystyle t 0 Delta t nbsp weiterhin optimal bleibt Definition 2 Zeitkonsistenz Die Praferenzrelation 0 displaystyle it lbrace succsim rbrace scriptscriptstyle 0 scriptscriptstyle infty nbsp auf P n displaystyle P n nbsp ist zeitkonsistent wenn gilt x p 0 y p 1 x p 0 D t y p 1 displaystyle it x scriptscriptstyle p succsim scriptscriptstyle 0 y scriptscriptstyle p 1 Leftrightarrow x scriptscriptstyle p succsim scriptscriptstyle 0 Delta t y scriptscriptstyle p 1 nbsp fur alle x y P n displaystyle it x y in P n nbsp alle p N displaystyle p in N nbsp alle t T displaystyle it t in T nbsp sowie D t gt 0 displaystyle Delta t gt 0 nbsp Eine Anderung des Betrachtungszeitpunktes von t 0 displaystyle t 0 nbsp zu t 0 D t displaystyle t 0 Delta t nbsp fuhrt zu keiner Anderung der Praferenzordnung Einmal festgelegte moglicherweise jedoch unangenehme Aktivitaten werden nicht aufgeschoben wenn der ursprunglich dafur geplante Zeitpunkt eintritt Wenn der Akteur heute festlegt dass morgen Aufraumen besser ist als Nicht Aufraumen so muss diese Reihung auch morgen Bestand haben Ein Aufschieben unangenehmer Tatigkeiten existiert bei zeitkonsistenten Praferenzen nicht Diese grundlegende Anforderung an rationale intertemporale Praferenzen wurde fruhzeitig formuliert 5 Das Beispiel 2 erlautert die Eigenschaft der Zeitkonsistenz 6 Beispiel 2 Ein Akteur kann sich zwischen Pizza P und Salat S entscheiden und legt in t 0 displaystyle it t 0 nbsp fur die nachsten vier Mahlzeiten folgende Praferenzrelationen fest P 1 P 2 P 3 P 4 0 P 1 P 2 P 3 S 4 0 P 1 P 2 S 3 S 4 displaystyle P scriptscriptstyle 1 P scriptscriptstyle 2 P scriptscriptstyle 3 P scriptscriptstyle 4 succ scriptscriptstyle 0 P scriptscriptstyle 1 P scriptscriptstyle 2 P scriptscriptstyle 3 S scriptscriptstyle 4 succ scriptscriptstyle 0 P scriptscriptstyle 1 P scriptscriptstyle 2 S scriptscriptstyle 3 S scriptscriptstyle 4 nbsp Nun wird angenommen dass zwei Mahlzeiten voruber sind was bedeutet dass der Akteur zwei Mal Pizza ass Er befindet sich also am Ende von Periode p 2 displaystyle it p 2 nbsp Zeitkonsistenz verlangt nun vom Akteur fur die dritte Mahlzeit in p 3 displaystyle it p 3 nbsp selbst nach Genuss von zwei Mal Pizza wiederum Pizza anstatt Salat zu wahlen Es muss also gelten P 3 P 4 2 P 3 S 4 2 S 3 S 4 displaystyle P scriptscriptstyle 3 P scriptscriptstyle 4 succ scriptscriptstyle 2 P scriptscriptstyle 3 S scriptscriptstyle 4 succ scriptscriptstyle 2 S scriptscriptstyle 3 S scriptscriptstyle 4 nbsp Der wesentliche Unterschied zwischen Zeitkonsistenz und wechselseitiger Unabhangigkeit ist folgender Die Unabhangigkeit der Praferenzen wird zu einem Zeitpunkt i d R t 0 displaystyle t 0 nbsp beurteilt Bei der Zeitkonsistenz hingegen werden die Praferenzen aus zwei unterschiedlichen Zeitpunkten miteinander verglichen Letzte Eigenschaft ist die Zeitinvarianz vgl Definition 3 7 Definition 3 Zeitinvarianz Die Praferenzrelation 0 displaystyle it lbrace succsim rbrace scriptscriptstyle 0 scriptscriptstyle infty nbsp auf P n displaystyle P n nbsp ist zeitinvariant wenn gilt x p 0 y p 1 x p D t 0 D t y p 1 D t displaystyle it x scriptscriptstyle p succsim scriptscriptstyle 0 y scriptscriptstyle p 1 Leftrightarrow x scriptscriptstyle p Delta t succsim scriptscriptstyle 0 Delta t y scriptscriptstyle p 1 Delta t nbsp fur alle x y P n displaystyle it x y in P n nbsp alle p N displaystyle p in N nbsp alle t T displaystyle it t in T nbsp sowie D t gt 0 displaystyle Delta t gt 0 nbsp Bei Zeitinvarianz werden sowohl der Beurteilungszeitpunkt als auch die Ergebnisse selbst in die Zukunft verschoben Jeweils zwei der drei Eigenschaften Stationaritat Zeitkonsistenz und Zeitinvarianz implizieren die dritte Eigenschaft 8 So fuhrt z B die Verbindung von Zeitkonsistenz und Zeitvarianz zur Stationaritat Bei der Stationaritat wird der Betrachtungs bzw Entscheidungspunkt fixiert und es wird der Zeitpunkt der Ereignisse variiert Im Fall der Zeitkonsistenz hingegen wird der Zeitpunkt des Eintritts der Ereignisse fixiert und der Betrachtungszeitpunkt wird variiert In beiden Fallen wird der relative Abstand zwischen Entscheidungs und Eintrittszeitpunkt verandert Die Praferenzrelation sollte trotzdem unverandert bleiben Die Praferenz wird durch das Stationaritats Axiom quasi fur die gesamte betrachtete Zeit eingefroren Einzelnachweise Bearbeiten Vgl Koopmans 1960 Vgl Millner Heal 2018 160 Muller 2022 198 Vgl Muller 2022 200 Vgl Millner Heal 2018 160 Muller 2022 200 Vgl Strotz 1955 56 Vgl Muller 2022 201 Vgl Muller 2022 202 Vgl Halevy 2015 341 342 Millner Heal 2018 162 Literatur BearbeitenYoram Halevy 2015 Time consistency stationarity and time invariance In Econometrica 83 1 335 352 Tjalling Charles Koopmans Stationary ordinal utility and impatience In Econometrica 1960 28 2 287 309 Antony Millner und Geoffrey Heal 2018 Time consistency and time invariance in collective intertemporal choice In Journal of Economic Theory 176 July 158 169 David Muller Investitionscontrolling Entscheidungsfindung bei Investitionen II Entscheidungstheorie 3 Aufl Berlin u a Springer Gabler 2022 ISBN 978 3 658 36597 4 Robert Henry Strotz Myopia and inconsistency in dynamic utility maximization In The Review of Economic Studies 1955 56 23 3 165 180 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stationaritat stationare Praferenz amp oldid 231449272