Die starke Suffizienz ist in der mathematischen Statistik eine Abwandlung der Suffizienz und damit wichtig für die Beantwortung der Frage, ob Informationen verlustfrei komprimiert werden können. Wie bei der (gewöhnlichen) Suffizienz definiert man zuerst die stark suffiziente σ-Algebra, um darauf aufbauend die stark suffiziente Statistik zu definieren. Starke Suffizienz und Suffizienz hängen zusammen, sind aber im Allgemeinen nicht identisch. Die starke Suffizienz geht zurück auf eine Arbeit von David Blackwell aus dem Jahr 1951, siehe Abschnitt Literatur.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein statistisches Modell und eine σ-Algebra mit . Dann heißt eine stark suffiziente σ-Algebra für , wenn ein Markow-Kern von nach existiert, so dass
für alle und alle .
Eine Statistik heißt eine stark suffiziente Statistik, wenn die von der Statistik erzeugte σ-Algebra eine stark suffiziente σ-Algebra ist.
Beziehung zur Suffizienz Bearbeiten
Auf borelschen Räumen fallen starke Suffizienz und Suffizienz zusammen. Denn ist stark suffizient, so ist genau die von der Wahl von unabhängige -messbare Funktion, die bei der Definition der Suffizienz verlangt wird. Ist umgekehrt suffizient auf einem Borelraum, so existiert der bei der Definition der starken Suffizienz geforderte Markow-Kern immer; er ist genau der Kern, der die reguläre bedingte Verteilung definiert, die auf borelschen Räumen immer existiert.
Verwendung Bearbeiten
Die starke Suffizienz wird beispielsweise in der Entscheidungstheorie verwendet. Hier werden Entscheidungen mittels Markow-Kernen modelliert, den sogenannten randomisierten Entscheidungsfunktionen. Um den Schaden einer Entscheidungsfunktion zu bemessen, wird eine Risikofunktion definiert, die bei vorliegendem, aber unbekannten Parameter, und einer gegebenen Entscheidungsfunktion das Risiko für eine Entscheidung bemisst. Ist nun eine stark suffiziente σ-Algebra, so lässt sich die Entscheidungsfunktion anstelle auf der großen σ-Algebra auf definieren, ohne dass sich die Risikofunktion ändert. Somit enthält die stark suffiziente σ-Algebra bereits alle für die Risikofunktion nötigen Informationen.
Literatur Bearbeiten
- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
- David Blackwell: Comparison of Experiments, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley 1951, 93–102.