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Simpson Paradoxon Das auch simpsonsches Paradoxon oder Simpson sches Paradoxon benannt nach Edward Hugh Simpson ist ein

Simpson-Paradoxon

Das Simpson-Paradoxon (auch simpsonsches Paradoxon oder Simpson’sches Paradoxon, benannt nach Edward Hugh Simpson) ist ein Paradoxon aus der Statistik. Dabei scheint es, dass die Bewertung verschiedener Gruppen unterschiedlich ausfällt, je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder nicht. Dieses Phänomen tritt auf, wenn Störvariablen in der statistischen Analyse nicht betrachtet werden. Durch die Nichtbeachtung der Gruppen kommt es zu einer Scheinkorrelation.

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Grafische Darstellung des Simpson-Paradoxons: von den mit 1 beschrifteten Vektoren hat der rote die größere Steigung, genau wie bei den mit 2 beschrifteten. Trotzdem hat die Vektorsumme der roten Vektoren eine kleinere Steigung als die der blauen.
Das Simpson-Paradoxon: Ein jeweils positiver Trend für liegt vor, falls man die beiden unterschiedlich colorierten Gruppen einzeln betrachtet. Werden die beiden Gruppen zusammen betrachtet, so liegt ein negativer Trend vor.

Das Simpson-Paradoxon ist möglich, wenn mehrere Vierfeldertafeln mit einem Chancenverhältnis kleiner (größer) als 1 zu einer Gesamttafel zusammengefasst werden, die einen Chancenquotienten größer (kleiner) als 1 aufweist.

Geschichte Bearbeiten

Edward Hugh Simpson beschrieb das Phänomen 1951. Er war aber nicht der Erste, der sich damit beschäftigte. So beschrieben bereits 1899 Karl Pearson et al. und 1903 George Udny Yule einen ähnlichen Sachverhalt. Die Bezeichnung Simpson-Paradoxon (englisch Simpson’s Paradox) wurde vermutlich 1972 von Colin R. Blyth eingeführt.

Ursache: Unentdeckte Einflussfaktoren Bearbeiten

Liegen je nach Unterteilung der Daten deutlich unterschiedliche Ergebnisse vor, kann dies auf nicht erfasste Einflussfaktoren (Störvariablen) zurückgeführt werden. Wollen Auswertende mögliche Fehlschlüsse vermeiden, müssen sie diese Einflussfaktoren finden, soweit sie vorhanden sind. Das Vorliegen eines Simpson-Paradoxons kann hier als Indikator dienen.

Eine Methode für die Suche nach weiteren Einflussfaktoren ist die getrennte Auswertung von Teilgruppen, bei denen

  • man spezifisches Verhalten erwartet (zum Beispiel das Krankheitsstadium der Patienten)
  • Cluster (Datenanalyse) gefunden wurde.

Beispiele Bearbeiten

Eine Prüfung Bearbeiten

Eine Fahrschule hat zwei Prüfungstage mit folgenden Ergebnissen:

  männlich weiblich
  bestanden gesamt Durchfallquote bestanden gesamt Durchfallquote
1. Tag 1 1 0 % 7 8 12,5 %
2. Tag 2 3 33,3 % 1 2 50 %
Summe 3 4 25 % 8 10 20 %

Obwohl die Männer an beiden Tagen eine geringere Durchfallquote als die Frauen haben, haben sie im Gesamtergebnis eine höhere.

Ursache ist der Umstand, dass die Einzelergebnisse mit unterschiedlichem Gewicht in das Gesamtergebnis eingehen. Das erkennt man leicht in der zahlenmäßig zugespitzten Variante der obigen Tabelle, die nachfolgend wiedergegeben wird:

  männlich weiblich
  bestanden gesamt Durchfallquote bestanden gesamt Durchfallquote
1. Tag 1 1 0 % 999 1000 0,1 %
2. Tag 2 3 33,3 % 1 2 50 %
Summe 3 4 25 % 1000 1002 0,2 %

Zulassungszahlen an der Universität Berkeley Bearbeiten

Einer der bekanntesten Fälle des Simpson-Paradoxons zeigte sich in einer Studie zu Zulassungen zu Graduate Schools der University of California, Berkeley. Die Zahlen für Herbst 1973 zeigten, dass mehr Männer als Frauen zugelassen wurden – die Differenz war so groß, dass sie nicht mehr durch Zufall zu erklären war (Signifikanztest):

Bewerber davon zugelassen
Männer 8442 44 %
Frauen 4321 35 %

Ein Mann hat also eine 44-prozentige Chance, zum Studium zugelassen zu werden, eine Frau aber nur eine 35-prozentige.

Die Aufschlüsselung nach Fakultäten zeigte allerdings, dass Frauen nicht diskriminiert wurden. Im Gegenteil wurde eine schwache, aber statistisch signifikante, Bevorzugung der Frauen festgestellt. Von 101 Departements der Universität hatten 16 nur erfolgreiche Bewerber oder nur Bewerber des einen Geschlechts. Bei den übrigen 85 Departements ergab sich dieses Bild:

  • Bei vier Departements gab es bei Männern Erfolgsquoten, die in signifikanter Weise besser waren als jene der Frauen.
  • Bei sechs Departements genossen Frauen eine signifikant bessere Erfolgsquote.

Ein Chi-Quadrat-Test zeigt eindrücklich, dass sich die Bewerbungen von Frauen und Männern von vorneherein nicht zufällig auf die 101 Departements verteilten (χ = 3091; p < 0,0001).

Dies führte zur Erklärung, dass keine Diskriminierung stattfand, sondern dass Frauen sich tendenziell dort bewarben, wo es für beide Geschlechter niedrigere Zulassungsraten gab, während Männer ihre Bewerbungen tendenziell dorthin sandten, wo es generell höhere Zulassungsraten gab. Die ursprüngliche Interpretation der Gesamterfolgsquote von 44 gegenüber 35 Prozent lässt dies außer Acht.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hans-Peter Beck-Bornholdt: Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit. Logisches Denken und Zufall. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2005, ISBN 3-499-61902-4.
  • Thomas R. Knapp: Instances of Simpson’s paradox. In: College Mathematics Journal. Band 16 (1985), S. 209–211, doi:10.1080/07468342.1985.11972882, JSTOR:2686573.
  • Walter Krämer: Denkste! Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls. Piper Verlag, München 2011, ISBN 978-3-492-26460-0. Kapitel 7, S. 161–186 (Die Basis-Falle und andere Trugschlüsse aus bedingten Wahrscheinlichkeiten).
  • Edward H. Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society. Series B. Vol. 13, No. 2, 1951, S. 238–241, doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00088.x, JSTOR:2984065.
  • Clifford H. Wagner: Simpson’s Paradox in Real Life. In: The American Statistician. Vol. 36, No. 1, 1982, S. 46–48, doi:10.1080/00031305.1982.10482778, JSTOR:2684093.
  • Howard Wainer: Minority contributions to the SAT score turnaround: an example of Simpson’s paradox. In: Journal of Educational Statistics. Band 11 (1986), S. 239–244, doi:10.3102/10769986011004239, JSTOR:1164696.

Weblinks Bearbeiten

Fußnoten und Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Edward Hugh Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B. Band 13, 1951, S. 238–241, doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00088.x, JSTOR:2984065.
  2. Karl Pearson; Alice Lee; Leslie Bramley-Moore: Mathematical Contributions to the Theory of Evolution – VI. Genetic (Reproductive) Selection: Inheritance of Fertility in Man, and of Fecundity in Thoroughbred Race-Horses. In: Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A. Band 192, 1899, S. 257–330, doi:10.1098/rsta.1899.0006.
  3. George Udny Yule: Notes on the Theory of Association of Attributes in Statistics. In: Biometrika. Band 2, 1903, S. 121–134, doi:10.1093/biomet/2.2.121, JSTOR:2331677.
  4. Colin R. Blyth: On Simpson’s Paradox and the Sure-Thing Principle. In: Journal of the American Statistical Association. Band 67, Nr. 338, 1972, S. 364–366, doi:10.1080/01621459.1972.10482387, JSTOR:2284382.
  5. https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fpsyg.2013.00513/full
  6. ↑ P. J. Bickel; E. A. Hammel; J. W. O'Connell: Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley. In: Science 187 (1975), Nr. 4175, S. 398–404 doi:10.1126/science.187.4175.398
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Das Simpson Paradoxon auch simpsonsches Paradoxon oder Simpson sches Paradoxon benannt nach Edward Hugh Simpson ist ein Paradoxon aus der Statistik Dabei scheint es dass die Bewertung verschiedener Gruppen unterschiedlich ausfallt je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder nicht Dieses Phanomen tritt auf wenn Storvariablen in der statistischen Analyse nicht betrachtet werden Durch die Nichtbeachtung der Gruppen kommt es zu einer Scheinkorrelation Dieser Artikel wurde auf der Qualitatssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen Dies geschieht um die Qualitat der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen Bitte hilf mit die Mangel dieses Artikels zu beseitigen und beteilige dich bitte an der Diskussion Artikel eintragen Grafische Darstellung des Simpson Paradoxons von den mit 1 beschrifteten Vektoren hat der rote die grossere Steigung genau wie bei den mit 2 beschrifteten Trotzdem hat die Vektorsumme der roten Vektoren eine kleinere Steigung als die der blauen Das Simpson Paradoxon Ein jeweils positiver Trend fur y x displaystyle y x liegt vor falls man die beiden unterschiedlich colorierten Gruppen einzeln betrachtet Werden die beiden Gruppen zusammen betrachtet so liegt ein negativer Trend vor Das Simpson Paradoxon ist moglich wenn mehrere Vierfeldertafeln mit einem Chancenverhaltnis kleiner grosser als 1 zu einer Gesamttafel zusammengefasst werden die einen Chancenquotienten grosser kleiner als 1 aufweist Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Ursache Unentdeckte Einflussfaktoren 3 Beispiele 3 1 Eine Prufung 3 2 Zulassungszahlen an der Universitat Berkeley 4 Siehe auch 5 Literatur 6 Weblinks 7 Fussnoten und EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenEdward Hugh Simpson beschrieb das Phanomen 1951 1 Er war aber nicht der Erste der sich damit beschaftigte So beschrieben bereits 1899 Karl Pearson et al 2 und 1903 George Udny Yule 3 einen ahnlichen Sachverhalt Die Bezeichnung Simpson Paradoxon englisch Simpson s Paradox wurde vermutlich 1972 von Colin R Blyth eingefuhrt 4 Ursache Unentdeckte Einflussfaktoren BearbeitenLiegen je nach Unterteilung der Daten deutlich unterschiedliche Ergebnisse vor kann dies auf nicht erfasste Einflussfaktoren Storvariablen zuruckgefuhrt werden Wollen Auswertende mogliche Fehlschlusse vermeiden mussen sie diese Einflussfaktoren finden soweit sie vorhanden sind Das Vorliegen eines Simpson Paradoxons kann hier als Indikator dienen Eine Methode fur die Suche nach weiteren Einflussfaktoren ist die getrennte Auswertung von Teilgruppen bei denen man spezifisches Verhalten erwartet zum Beispiel das Krankheitsstadium der Patienten Cluster Datenanalyse gefunden wurde 5 Beispiele BearbeitenEine Prufung Bearbeiten Eine Fahrschule hat zwei Prufungstage mit folgenden Ergebnissen mannlich weiblich bestanden gesamt Durchfallquote bestanden gesamt Durchfallquote1 Tag 1 1 0 7 8 12 5 2 Tag 2 3 33 3 1 2 50 Summe 3 4 25 8 10 20 Obwohl die Manner an beiden Tagen eine geringere Durchfallquote als die Frauen haben haben sie im Gesamtergebnis eine hohere Ursache ist der Umstand dass die Einzelergebnisse mit unterschiedlichem Gewicht in das Gesamtergebnis eingehen Das erkennt man leicht in der zahlenmassig zugespitzten Variante der obigen Tabelle die nachfolgend wiedergegeben wird mannlich weiblich bestanden gesamt Durchfallquote bestanden gesamt Durchfallquote1 Tag 1 1 0 999 1000 0 1 2 Tag 2 3 33 3 1 2 50 Summe 3 4 25 1000 1002 0 2 Zulassungszahlen an der Universitat Berkeley Bearbeiten Einer der bekanntesten Falle des Simpson Paradoxons zeigte sich in einer Studie zu Zulassungen zu Graduate Schools der University of California Berkeley Die Zahlen fur Herbst 1973 zeigten dass mehr Manner als Frauen zugelassen wurden die Differenz war so gross dass sie nicht mehr durch Zufall zu erklaren war Signifikanztest Bewerber davon zugelassenManner 8442 44 Frauen 4321 35 Ein Mann hat also eine 44 prozentige Chance zum Studium zugelassen zu werden eine Frau aber nur eine 35 prozentige Die Aufschlusselung nach Fakultaten zeigte allerdings dass Frauen nicht diskriminiert wurden Im Gegenteil wurde eine schwache aber statistisch signifikante Bevorzugung der Frauen festgestellt 6 Von 101 Departements der Universitat hatten 16 nur erfolgreiche Bewerber oder nur Bewerber des einen Geschlechts Bei den ubrigen 85 Departements ergab sich dieses Bild Bei vier Departements gab es bei Mannern Erfolgsquoten die in signifikanter Weise besser waren als jene der Frauen Bei sechs Departements genossen Frauen eine signifikant bessere Erfolgsquote Ein Chi Quadrat Test zeigt eindrucklich dass sich die Bewerbungen von Frauen und Mannern von vorneherein nicht zufallig auf die 101 Departements verteilten x 3091 p lt 0 0001 Dies fuhrte zur Erklarung dass keine Diskriminierung stattfand sondern dass Frauen sich tendenziell dort bewarben wo es fur beide Geschlechter niedrigere Zulassungsraten gab wahrend Manner ihre Bewerbungen tendenziell dorthin sandten wo es generell hohere Zulassungsraten gab Die ursprungliche Interpretation der Gesamterfolgsquote von 44 gegenuber 35 Prozent lasst dies ausser Acht 6 Siehe auch BearbeitenVerzerrung durch ausgelassene Variablen Partieller Korrelationskoeffizient Gemischtes ModellLiteratur BearbeitenHans Peter Beck Bornholdt Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit Logisches Denken und Zufall Rowohlt Reinbek bei Hamburg 2005 ISBN 3 499 61902 4 Thomas R Knapp Instances of Simpson s paradox In College Mathematics Journal Band 16 1985 S 209 211 doi 10 1080 07468342 1985 11972882 JSTOR 2686573 Walter Kramer Denkste Trugschlusse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls Piper Verlag Munchen 2011 ISBN 978 3 492 26460 0 Kapitel 7 S 161 186 Die Basis Falle und andere Trugschlusse aus bedingten Wahrscheinlichkeiten Edward H Simpson The Interpretation of Interaction in Contingency Tables In Journal of the Royal Statistical Society Series B Vol 13 No 2 1951 S 238 241 doi 10 1111 j 2517 6161 1951 tb00088 x JSTOR 2984065 Clifford H Wagner Simpson s Paradox in Real Life In The American Statistician Vol 36 No 1 1982 S 46 48 doi 10 1080 00031305 1982 10482778 JSTOR 2684093 Howard Wainer Minority contributions to the SAT score turnaround an example of Simpson s paradox In Journal of Educational Statistics Band 11 1986 S 239 244 doi 10 3102 10769986011004239 JSTOR 1164696 Weblinks BearbeitenEintrag in Edward N Zalta Hrsg Stanford Encyclopedia of Philosophy Vorlage SEP Wartung Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3 Judea Pearl Simpsons s Paradox An Anatomy University of California 1999 S 1 11 ucla edu PDF abgerufen am 16 Oktober 2007 Ulrich Kuhne Von Zahlen geblendet Simpson Paradox Scheinbar klare Verhaltnisse werden in ihr Gegenteil verkehrt Eine Warnung vor dem naiven Vertrauen in Statistiken Der Freitag Nr 42 2009 S 18 freitag de abgerufen am 17 April 2010 Bjorn Christensen amp Soren Christensen Simpsons Paradoxon Diese Statistik kann nicht stimmen Oder doch In Spiegel Online 18 Dezember 2015 abgerufen am 20 Mai 2019 Norbert Henze 2020 Ein Simpson Paradoxon bei Covid 19 Todesfallraten pdf Manon Bischoff Gegen jede Intuition In Spektrum der Wissenschaft vom 4 Marz 2022 1 Das Simpson Paradoxon Mathewelten ARTE auf YouTube 27 Mai 2023 abgerufen am 4 Juni 2023 Fussnoten und Einzelnachweise Bearbeiten Edward Hugh Simpson The Interpretation of Interaction in Contingency Tables In Journal of the Royal Statistical Society Ser B Band 13 1951 S 238 241 doi 10 1111 j 2517 6161 1951 tb00088 x JSTOR 2984065 Karl Pearson Alice Lee Leslie Bramley Moore Mathematical Contributions to the Theory of Evolution VI Genetic Reproductive Selection Inheritance of Fertility in Man and of Fecundity in Thoroughbred Race Horses In Philosophical Transactions of the Royal Society Series A Band 192 1899 S 257 330 doi 10 1098 rsta 1899 0006 George Udny Yule Notes on the Theory of Association of Attributes in Statistics In Biometrika Band 2 1903 S 121 134 doi 10 1093 biomet 2 2 121 JSTOR 2331677 Colin R Blyth On Simpson s Paradox and the Sure Thing Principle In Journal of the American Statistical Association Band 67 Nr 338 1972 S 364 366 doi 10 1080 01621459 1972 10482387 JSTOR 2284382 https www frontiersin org articles 10 3389 fpsyg 2013 00513 full a b P J Bickel E A Hammel J W O Connell Sex Bias in Graduate Admissions Data from Berkeley In Science 187 1975 Nr 4175 S 398 404 doi 10 1126 science 187 4175 398 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Simpson Paradoxon amp oldid 238475765