Schriftliche Multiplikation ist ein Rechenverfahren Algorithmus mithilfe dessen eine Multiplikation zweier mehrstelliger Zahlen durch eine schriftliche Darstellung ausgefuhrt werden kann Im Folgenden wird das Verfahren fur naturliche Zahlen beschrieben Die Erweiterung auf reelle Zahlen mit endlicher Anzahl an Dezimalstellen erfolgt anschliessend Inhaltsverzeichnis 1 Verfahren 2 Mathematischer Hintergrund 3 Beispiel 4 Dezimalstellen und Vorzeichen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksVerfahren BearbeitenDas allgemein ubliche Verfahren besteht darin die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl Multiplikand mit einer zweiten mehrstelligen Zahl Multiplikator in mehrere Multiplikationen der ersten Zahl mit einer einstelligen Zahl aufzuteilen indem man die zweite Zahl in ihre Ziffern zerlegt Dann muss man diese Ergebnisse mit dem Stellenwert der jeweiligen Ziffer des Multiplikators durch Erganzen der erforderlichen Anzahl an Nullen multiplizieren und am Schluss alles addieren Die dabei verwendete Schreibweise wird im unten angefuhrten Beispiel dargestellt Mathematischer Hintergrund BearbeitenEine naturliche n displaystyle n nbsp stellige Zahl a displaystyle a nbsp mit der Ziffernfolge a n 1 a n 2 a 1 a 0 displaystyle a n 1 a n 2 dotsb a 1 a 0 nbsp lasst sich als Summe einstelliger Vielfacher von Zehnerpotenzen darstellen a n 1 a n 2 a n 3 a 1 a 0 a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 displaystyle a n 1 a n 2 a n 3 dotsb a 1 a 0 a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 dotsb a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 nbsp a i 0 n 1 a i 10 i displaystyle a sum i 0 n 1 a i cdot 10 i nbsp Die Multiplikation einer n displaystyle n nbsp stelligen Zahl a displaystyle a nbsp mit einer m displaystyle m nbsp stelligen Zahl b displaystyle b nbsp entspricht also der Multiplikation a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 b m 1 10 m 1 b m 2 10 m 2 b 1 10 1 b 0 10 0 displaystyle a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 dotsb a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 cdot b m 1 cdot 10 m 1 b m 2 cdot 10 m 2 dotsb b 1 cdot 10 1 b 0 cdot 10 0 nbsp a b i 0 n 1 a i 10 i k 0 m 1 b k 10 k displaystyle a cdot b left sum i 0 n 1 a i cdot 10 i right cdot left sum k 0 m 1 b k cdot 10 k right nbsp Fasst man die Produkte der Ziffern mit ihrem Stellenwert als Elemente zweier Vektoren auf so kann man die Multiplikation als Summe der Elemente des dyadischen Produkts der Vektoren zu einer Matrix auffassen a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 b m 1 10 m 1 b m 2 10 m 2 b 1 10 1 b 0 10 0 a n 1 b m 1 10 n m 2 a n 1 b m 2 10 n m 3 a n 1 b 1 10 n a n 1 b 0 10 n 1 a n 2 b m 1 10 n m 3 a n 2 b m 2 10 n m 4 a n 2 b 1 10 n 1 a n 2 b 0 10 n 2 a 1 b m 1 10 m a 1 b m 2 10 m 1 a 1 b 1 10 2 a 1 b 0 10 1 a 0 b m 1 10 m 1 a 0 b m 2 10 m 2 a 0 b 1 10 1 a 0 b 0 10 0 displaystyle begin pmatrix a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 vdots a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 end pmatrix otimes begin pmatrix b m 1 cdot 10 m 1 b m 2 cdot 10 m 2 vdots b 1 cdot 10 1 b 0 cdot 10 0 end pmatrix begin pmatrix a n 1 b m 1 cdot 10 n m 2 amp a n 1 b m 2 cdot 10 n m 3 amp dotsb amp a n 1 b 1 cdot 10 n amp a n 1 b 0 cdot 10 n 1 a n 2 b m 1 cdot 10 n m 3 amp a n 2 b m 2 cdot 10 n m 4 amp dotsb amp a n 2 b 1 cdot 10 n 1 amp a n 2 b 0 cdot 10 n 2 vdots amp vdots amp dotsb amp vdots amp vdots a 1 b m 1 cdot 10 m amp a 1 b m 2 cdot 10 m 1 amp dotsb amp a 1 b 1 cdot 10 2 amp a 1 b 0 cdot 10 1 a 0 b m 1 cdot 10 m 1 amp a 0 b m 2 cdot 10 m 2 amp dotsb amp a 0 b 1 cdot 10 1 amp a 0 b 0 cdot 10 0 end pmatrix nbsp Beim o g Verfahren werden alle Matrixelemente errechnet und dabei auch spaltenweise addiert Diese Spaltensummen werden notiert und dann schriftlich addiert sodass man das Gesamtergebnis erhalt Die Ergebnisse der Spalten sind a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 b m 1 10 m 1 displaystyle a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 dotsb a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 cdot b m 1 cdot 10 m 1 nbsp a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 b m 2 10 m 2 displaystyle a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 dotsb a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 cdot b m 2 cdot 10 m 2 nbsp displaystyle dotsb nbsp a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 b 1 10 1 displaystyle a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 dotsb a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 cdot b 1 cdot 10 1 nbsp a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 a 1 10 1 a 0 10 0 b 0 10 0 displaystyle a n 1 cdot 10 n 1 a n 2 cdot 10 n 2 dotsb a 1 cdot 10 1 a 0 cdot 10 0 cdot b 0 cdot 10 0 nbsp Beispiel BearbeitenAls Beispiel nehmen wir die Zahlen a 8642 displaystyle a 8642 nbsp und b 9731 displaystyle b 9731 nbsp Dann ergeben sich die Teilschritte 8 10 3 6 10 2 4 10 1 2 10 0 9 10 3 displaystyle 8 cdot 10 3 6 cdot 10 2 4 cdot 10 1 2 cdot 10 0 cdot 9 cdot 10 3 nbsp 8 10 3 6 10 2 4 10 1 2 10 0 7 10 2 displaystyle 8 cdot 10 3 6 cdot 10 2 4 cdot 10 1 2 cdot 10 0 cdot 7 cdot 10 2 nbsp 8 10 3 6 10 2 4 10 1 2 10 0 3 10 1 displaystyle 8 cdot 10 3 6 cdot 10 2 4 cdot 10 1 2 cdot 10 0 cdot 3 cdot 10 1 nbsp 8 10 3 6 10 2 4 10 1 2 10 0 1 10 0 displaystyle 8 cdot 10 3 6 cdot 10 2 4 cdot 10 1 2 cdot 10 0 cdot 1 cdot 10 0 nbsp also 8000 600 40 2 9000 displaystyle 8000 600 40 2 cdot 9000 nbsp 8000 600 40 2 700 displaystyle 8000 600 40 2 cdot 700 nbsp 8000 600 40 2 30 displaystyle 8000 600 40 2 cdot 30 nbsp 8000 600 40 2 1 displaystyle 8000 600 40 2 cdot 1 nbsp Mit Hilfe einer versetzten Platzierung der Werte auf bevorzugt kariertem Papier kann man das Notieren der Zehnerpotenzen in den Grafiken rot dargestellt einsparen Unter Verwendung des kleinen Einmaleins und Addition erhalt man fur die Zeilen nbsp Das ganze Schema mit verkurzter Notation der Zeilen ist dann nbsp Damit ist die Multiplikation vollstandig durchgefuhrt Dezimalstellen und Vorzeichen BearbeitenHat mindestens ein Faktor Nachkommastellen so wird die Multiplikation zunachst so durchgefuhrt als ob es ganze Zahlen waren Danach muss man das Komma so setzen dass die Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Summe der Anzahl an Nachkommastellen der Faktoren entspricht Hat mindestens ein Faktor ein negatives Vorzeichen so multipliziert man zuerst die Betrage und bestimmt danach das Vorzeichen mit Hilfe der Vorzeichenregeln Siehe auch BearbeitenRussische Bauernmultiplikation DuplationLiteratur BearbeitenFriedhelm Padberg Andreas Buchter Einfuhrung Mathematik Primarstufe Arithmetik 2 Auflage Springer 2015 ISBN 978 3 662 43449 9 S 50 55 Petra Knoss Fundamentale Ideen der Informatik im Mathematikunterricht Grundsatzliche Uberlegungen und Beispiele fur die Primarstufe Springer 1989 S 189 201 Schulerduden Mathematik I 8 Auflage Duden Verlag 2008 ISBN 978 3 411 04208 1 S 198 202 412 414 Weblinks BearbeitenAnleitung Schriftliches Multiplizieren Lehrerfortbildung Baden Wurttemberg Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schriftliche Multiplikation amp oldid 225458727
