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Satz von Wagner und Fáry Der manchmal auch als Satz von Wagner oder Satz von Fáry bezeichnet ist ein Lehrsatz aus dem ma

Satz von Wagner und Fáry

Der Satz von Wagner und Fáry, manchmal auch als Satz von Wagner oder Satz von Fáry bezeichnet, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologischen Graphentheorie, welcher zuerst im Jahre 1936 von dem Mathematiker Klaus Wagner gefunden und dann im Jahre 1948 von dem Mathematiker István Fáry erneut gefunden wurde. Der Satz behandelt eine wichtige Eigenschaft plättbarer Graphen, die nicht zuletzt im Zusammenhang mit dem Vierfarbensatz und verwandten mathematischen Lehrsätzen von Bedeutung ist.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Nach einem geeigneten Homöomorphismus sind auch B und D durch eine Strecke verbunden.

Erste Version Bearbeiten

Die erste Version des Satzes lautet wie folgt:

Zweite Version Bearbeiten

Ein ebener Graphen der in der ersten Version genannten Art wird auch als Streckengraph oder als geradlinige Darstellung (des Graphen ) bezeichnet. Unter Verwendung dieser Begriffe lässt sich der Satz auch folgendermaßen formulieren:

Anmerkungen Bearbeiten

  • Die Bedeutung des Satzes von Wagner und Fáry (in der zweiten Version) für den Vierfarbensatz geht aus einer Anmerkung hervor, die der Mathematiker Rudolf Fritsch in seiner Monographie Der Vierfarbensatz dazu macht. Fritsch schreibt, dass der Satz die endgültige Befreiung aus dem Gruselkabinett beliebiger Jordankurven bringt und den Vierfarbensatz aus den Klauen der allgemeinen Topologie löst.
  • Die Vermutung, dass die Aussage des Satzes von Wagner und Fáry gelte, wurde István Fáry zufolge schon früher von dem ungarischen Mathematiker Tibor Szele geäußert.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • István Fáry: On straight line representation of planar graphs. In: Acta Univ. Szeged. Sect. Sci. Math. Band 11, 1948, S. 229–233 (MR0026311).
  • Rudolf Fritsch: Der Vierfarbensatz. Geschichte, topologische Grundlagen und Beweisidee. Unter Mitarbeit von Gerda Fritsch. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-15141-2 (MR1270673).
  • Rudolf Halin: Graphentheorie II (= Erträge der Forschung. Band 161). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1981, ISBN 3-534-08269-9 (MR0668698).
  • Nora Hartsfield, Gerhard Ringel: Pearls in Graph Theory. A Comprehensive Introduction. Academic Press, Boston (u. a.) 1990, ISBN 0-12-328552-6 (MR1069559).
  • Jonathan L. Gross, Thomas W. Tucker: Topological Graph Theory (= Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization). John Wiley & Sons, New York 1987, ISBN 0-471-04926-3 (MR0898434).
  • Klaus Wagner: Bemerkungen zum Vierfarbenproblem. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 46, 1936, S. 26–32.
  • Klaus Wagner: Graphentheorie (= BI-Hochschultaschenbücher. 248/248a). Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4 (MR0282850).

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Nora Hartsfield, Gerhard Ringel: Pearls in Graph Theory. 1990, S. 166–167
  2. Rudolf Fritsch: Der Vierfarbensatz. 1994, S. 106 ff., 113–115
  3. Rudolf Halin: Graphentheorie II. 1981, S. 9 ff., 14–15
  4. ↑ Fritsch, op. cit., S. 107
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Wagner und Fary manchmal auch als Satz von Wagner oder Satz von Fary bezeichnet ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologischen Graphentheorie welcher zuerst im Jahre 1936 von dem Mathematiker Klaus Wagner gefunden und dann im Jahre 1948 von dem Mathematiker Istvan Fary erneut gefunden wurde Der Satz behandelt eine wichtige Eigenschaft plattbarer Graphen die nicht zuletzt im Zusammenhang mit dem Vierfarbensatz und verwandten mathematischen Lehrsatzen von Bedeutung ist Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 1 1 Erste Version 1 2 Zweite Version 2 Anmerkungen 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Satzes Bearbeiten nbsp Nach einem geeigneten Homoomorphismus sind auch B und D durch eine Strecke verbunden Erste Version Bearbeiten Die erste Version des Satzes lautet wie folgt 1 Ist ein endlicher schlichter Graph G V E displaystyle G V E nbsp plattbar so existiert sogar ein isomorpher ebener Graph G V E displaystyle G V E nbsp dergestalt dass die zu den Kanten e E displaystyle e in E nbsp gehorigen Jordankurven samtlich abgeschlossene Strecken sind die einander nie in einem inneren Punkt kreuzen also paarweise stets hochstens einen der Knoten v V displaystyle v in V nbsp gemeinsam haben Zweite Version Bearbeiten Ein ebener Graphen G V E displaystyle G V E nbsp der in der ersten Version genannten Art wird auch als Streckengraph oder als geradlinige Darstellung des Graphen G displaystyle G nbsp bezeichnet Unter Verwendung dieser Begriffe lasst sich der Satz auch folgendermassen formulieren 2 3 Jeder ebene Graph kann durch einen Homoomorphismus der euklidischen Ebene auf sich in einen Streckengraphen uberfuhrt werden Anmerkungen BearbeitenDie Bedeutung des Satzes von Wagner und Fary in der zweiten Version fur den Vierfarbensatz geht aus einer Anmerkung hervor die der Mathematiker Rudolf Fritsch in seiner Monographie Der Vierfarbensatz dazu macht Fritsch schreibt dass der Satz die endgultige Befreiung aus dem Gruselkabinett beliebiger Jordankurven bringt und den Vierfarbensatz aus den Klauen der allgemeinen Topologie lost 4 Die Vermutung dass die Aussage des Satzes von Wagner und Fary gelte wurde Istvan Fary zufolge schon fruher von dem ungarischen Mathematiker Tibor Szele geaussert 4 Siehe auch BearbeitenAquivalenzsatz von Wagner Satz von WagnerLiteratur BearbeitenIstvan Fary On straight line representation of planar graphs In Acta Univ Szeged Sect Sci Math Band 11 1948 S 229 233 MR0026311 Rudolf Fritsch Der Vierfarbensatz Geschichte topologische Grundlagen und Beweisidee Unter Mitarbeit von Gerda Fritsch BI Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zurich 1994 ISBN 3 411 15141 2 MR1270673 Rudolf Halin Graphentheorie II Ertrage der Forschung Band 161 Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1981 ISBN 3 534 08269 9 MR0668698 Nora Hartsfield Gerhard Ringel Pearls in Graph Theory A Comprehensive Introduction Academic Press Boston u a 1990 ISBN 0 12 328552 6 MR1069559 Jonathan L Gross Thomas W Tucker Topological Graph Theory Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization John Wiley amp Sons New York 1987 ISBN 0 471 04926 3 MR0898434 Klaus Wagner Bemerkungen zum Vierfarbenproblem In Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Band 46 1936 S 26 32 Klaus Wagner Graphentheorie BI Hochschultaschenbucher 248 248a Bibliographisches Institut Mannheim u a 1970 ISBN 3 411 00248 4 MR0282850 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Nora Hartsfield Gerhard Ringel Pearls in Graph Theory 1990 S 166 167 Rudolf Fritsch Der Vierfarbensatz 1994 S 106 ff 113 115 Rudolf Halin Graphentheorie II 1981 S 9 ff 14 15 a b Fritsch op cit S 107 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Wagner und Fary amp oldid 225661203