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Satz von Clement Der englisch Clement s theorem ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement A 1 im Jahre 1949 vorge

Satz von Clement

Der Satz von Clement (englisch Clement’s theorem) ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie, der sich mit der Untersuchung von charakteristischen Teilbarkeitseigenschaften bei Primzahlzwillingen befasst. Er ist eng verbunden mit dem Satz von Wilson und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar, wobei sich sogar zeigt, dass der Clement’sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet, welche den Wilson’schen Satz miteinschließt.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:

Beispiele Bearbeiten

  1. ist ein Primzahlzwilling, da von geteilt wird.
  2. ist ein Primzahlzwilling, da von geteilt wird.
  3. ist KEIN Primzahlzwilling, da von nicht geteilt wird.
  4. ist KEIN Primzahlzwilling, da von nicht geteilt wird.
  5. ist ein Primzahlzwilling, da von geteilt wird.
  6. ist KEIN Primzahlzwilling, da von nicht geteilt wird.

Elementarer Beweis Bearbeiten

Der Darstellung in der Monographie von Wacław Sierpiński (s. u.) folgend lässt sich für den Satz ein elementarer Beweis angeben. Als wesentlich erweist sich hierbei der Satz von Wilson sowie die Tatsache, dass für stets die Kongruenz und damit auch die Kongruenz

(K)

Gültigkeit hat.

Der Beweis vollzieht sich dann in zwei Schritten wie folgt:

Beweisschritt 1 Bearbeiten

Zunächst sei vorausgesetzt, dass ist und dabei und beide prim sind.

Dann gilt nach Wilson

und damit

.

Zugleich gilt aber wegen (K) und wieder nach Wilson auch die Kongruenz

.

Also sind die Primzahlen und beide Teiler von , was dann aber auch für ihr Produkt gilt.

Beweisschritt 2 Bearbeiten

Es sei nun andererseits vorausgesetzt, dass für die Kongruenz Gültigkeit habe.

Dies impliziert zunächst einmal, dass ungerade sind: Denn nähme man für ein als gegeben an, so wäre und damit ein Teiler von und ebenso ein Teiler von , was unmittelbar zu der Kongruenz führt. Dies bedeutet jedoch voraussetzungsgemäß und damit oder , was jedoch einen Widerspruch bedeutete, da doch beide Zahlen die obige Kongruenz offenbar nicht erfüllen.

Also impliziert die obige Voraussetzung, dass sogar ein Teiler von ist und folglich nach dem Wilson'schen Satz eine Primzahl sein muss.

Die obige Voraussetzung besagt indes ebenfalls, dass

gelten muss und damit wegen (K) auch, dass ein Teiler von ist.

Da jedoch mit auch eine ungerade Zahl ist, muss dann sogar ein Teiler von und folglich nach dem Wilson'schen Satz eine Primzahl sein.

Literatur Bearbeiten

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Paul Arnold Clement promovierte im Jahre 1949 an der University of California, Los Angeles, unter der Anleitung von Edwin Ford Beckenbach zum Ph.D.
  2. ist die Fakultätsfunktion.
  3. ist die zahlentheoretische Kongruenzrelation.
  4. Rebecca Waldecker (Jahrgang 1979) ist Professorin für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger. 2016, S. 168
  2. ↑ Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 224
  3. ↑ Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 1996, S. 259
  4. Valeriu Popa: On a generalization of Clement’s theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice 24, S. 1435–1440
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Clement englisch Clement s theorem ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement A 1 im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie der sich mit der Untersuchung von charakteristischen Teilbarkeitseigenschaften bei Primzahlzwillingen befasst 1 2 3 Er ist eng verbunden mit dem Satz von Wilson und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar wobei sich sogar zeigt dass der Clement sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet welche den Wilson schen Satz miteinschliesst 4 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beispiele 3 Elementarer Beweis 3 1 Beweisschritt 1 3 2 Beweisschritt 2 4 Literatur 5 Anmerkungen 6 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich folgendermassen angeben 1 2 3 Fur eine gegebene naturliche Zahl n N m i t n 2 displaystyle n in mathbb N mathrm mit n geq 2 nbsp ist das Paar n n 2 displaystyle n n 2 nbsp genau dann ein Primzahlzwilling wenn die zugehorige naturliche Zahl 4 n 1 1 n displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n nbsp durch n n 2 displaystyle n cdot n 2 nbsp teilbar ist A 2 Mit anderen Worten Es gilt fur gegebenes n N m i t n 2 displaystyle n in mathbb N mathrm mit n geq 2 nbsp stets4 n 1 1 n 0 mod n n 2 n n 2 i s t P r i m z a h l z w i l l i n g displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n equiv 0 pmod n cdot n 2 Longleftrightarrow n n 2 mathrm ist mathrm Primzahlzwilling nbsp A 3 dd Beispiele Bearbeiten n 1 n 1 2 3 5 displaystyle n 1 n 1 2 3 5 nbsp ist ein Primzahlzwilling da 4 n 1 1 1 n 1 15 displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 1 bigr n 1 15 nbsp von n 1 n 1 2 15 displaystyle n 1 cdot n 1 2 15 nbsp geteilt wird n 2 n 2 2 5 7 displaystyle n 2 n 2 2 5 7 nbsp ist ein Primzahlzwilling da 4 n 2 1 1 n 2 105 displaystyle 4 cdot bigl n 2 1 1 bigr n 2 105 nbsp von n 2 n 2 2 35 displaystyle n 2 cdot n 2 2 35 nbsp geteilt wird n 3 n 3 2 7 9 displaystyle n 3 n 3 2 7 9 nbsp ist KEIN Primzahlzwilling da 4 n 3 1 1 n 3 2 891 displaystyle 4 cdot bigl n 3 1 1 bigr n 3 2 891 nbsp von 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fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp stets die Kongruenz n 1 2 n 1 mod n 2 displaystyle n 1 equiv 2 cdot n 1 pmod n 2 nbsp und damit auch die Kongruenz K 4 n 1 1 n 2 2 n 1 4 n 2 n 1 2 2 n 1 1 mod n 2 displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n equiv 2 cdot 2 cdot n 1 4 n equiv 2 cdot n 1 2 equiv 2 cdot bigl n 1 1 bigr pmod n 2 nbsp Gultigkeit hat Der Beweis vollzieht sich dann in zwei Schritten wie folgt Beweisschritt 1 Bearbeiten Zunachst sei vorausgesetzt dass n N m i t n 2 displaystyle n in mathbb N mathrm mit n geq 2 nbsp ist und dabei n displaystyle n nbsp und n 2 displaystyle n 2 nbsp beide prim sind Dann gilt nach Wilson n 1 1 0 mod n displaystyle n 1 1 equiv 0 pmod n nbsp und damit4 n 1 1 n 0 mod n displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n equiv 0 pmod n nbsp Zugleich gilt aber wegen K und wieder nach Wilson auch die Kongruenz4 n 1 1 n 0 mod n 2 displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n equiv 0 pmod n 2 nbsp Also sind die Primzahlen n displaystyle n nbsp und n 2 displaystyle n 2 nbsp beide Teiler von 4 n 1 1 n displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n nbsp was dann aber auch fur ihr Produkt n n 2 displaystyle n cdot n 2 nbsp gilt Beweisschritt 2 Bearbeiten Es sei nun andererseits vorausgesetzt dass fur n N m i t n 2 displaystyle n in mathbb N mathrm mit n geq 2 nbsp die Kongruenz 4 n 1 1 n 0 mod n n 2 displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n equiv 0 pmod n cdot n 2 nbsp Gultigkeit habe Dies impliziert zunachst einmal dass n displaystyle n nbsp ungerade sind Denn nahme man n 2 k displaystyle n 2 cdot k nbsp fur ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp als gegeben an so ware n 1 k k 1 k displaystyle n 1 k k 1 geq k nbsp und damit k displaystyle k nbsp ein Teiler von n 1 displaystyle n 1 nbsp und ebenso n 2 k displaystyle n 2 cdot k nbsp ein Teiler von 2 n 1 displaystyle 2 cdot n 1 nbsp was unmittelbar zu der Kongruenz 4 n 1 0 mod n displaystyle 4 cdot n 1 equiv 0 pmod n nbsp fuhrt Dies bedeutet jedoch voraussetzungsgemass 4 0 mod n displaystyle 4 equiv 0 pmod n nbsp und damit n 2 displaystyle n 2 nbsp oder n 4 displaystyle n 4 nbsp was jedoch einen Widerspruch bedeutete da doch beide Zahlen die obige Kongruenz offenbar nicht erfullen Also impliziert die obige Voraussetzung dass n displaystyle n nbsp sogar ein Teiler von n 1 1 displaystyle n 1 1 nbsp ist und folglich nach dem Wilson schen Satz eine Primzahl sein muss Die obige Voraussetzung besagt indes ebenfalls dass4 n 1 1 n 0 mod n 2 displaystyle 4 cdot bigl n 1 1 bigr n equiv 0 pmod n 2 nbsp gelten muss und damit wegen K auch dass n 2 displaystyle n 2 nbsp ein Teiler von 2 n 1 1 displaystyle 2 cdot bigl n 1 1 bigr nbsp ist Da jedoch mit n displaystyle n nbsp auch n 2 displaystyle n 2 nbsp eine ungerade Zahl ist muss n 2 displaystyle n 2 nbsp dann sogar ein Teiler von n 1 1 displaystyle n 1 1 nbsp und folglich nach dem Wilson schen Satz eine Primzahl sein Literatur BearbeitenP A Clement Congruences for sets of primes In American Mathematical Monthly Band 56 1949 S 23 25 MR0027771 Valeriu Popa On a 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Rebecca Waldecker Jahrgang 1979 ist Professorin fur Algebra an der Martin Luther Universitat Halle Wittenberg Einzelnachweise Bearbeiten a b Rebecca Waldecker Lasse Rempe Gillen Primzahltests fur Einsteiger 2016 S 168 a b c Waclaw Sierpinski Elementary Theory of Numbers 1988 S 224 a b Paulo Ribenboim The New Book of Prime Number Records 1996 S 259 Valeriu Popa On a generalization of Clement s theorem In Studii si Cercetări Matematice 24 S 1435 1440 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Clement amp oldid 237663496