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Salinon Das griechisch vermutlich für Salzfässchen 1 ist eine aus vier Halbkreisen gebildete spiegelsymmetrische geometr

Salinon

Das Salinon (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“) ist eine aus vier Halbkreisen gebildete, spiegelsymmetrische geometrische Figur. Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben.

Das Salinon (blau) …
… und der rote Kreis sind flächengleich.

Konstruktion Bearbeiten

sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der -Achse liegen außen die beiden Punkte und (jeweils mit gleichem Abstand zu ) und innen die Punkte und (ebenfalls mit gleichem Abstand zu ); damit ist . Man errichte einen Halbkreis über , sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über und . Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter . Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (blau in der Abbildung). Sie schneidet die -Achse in den Punkten und .

Eigenschaften Bearbeiten

Salinon
Arbelos

Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente, Buch 2, Proposition 10.

Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises () mit und den des kleinen, mittleren Halbkreises () mit , so gilt für die Fläche des Salinon:

Beweis:

folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage.

Weiterhin lässt sich hieraus folgern, dass der Kreis mit dem Durchmesser (rot in der Abbildung) denselben Flächeninhalt hat wie das Salinon.

Beweis:

und somit seine Flächenmaßzahl

Darüber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften:

  • Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur -Achse (darunter und ) bilden ein Quadrat.
  • Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter zu Null wird (die Punkte und also in zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur -Achse spiegelsymmetrischen Arbelos über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 156/157

Weblinks Bearbeiten

Commons: Salinon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Salinon griechisch vermutlich fur Salzfasschen 1 ist eine aus vier Halbkreisen gebildete spiegelsymmetrische geometrische Figur Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben Das Salinon blau und der rote Kreis sind flachengleich Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Eigenschaften 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenO displaystyle O nbsp sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems Auf der x displaystyle x nbsp Achse liegen aussen die beiden Punkte A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp jeweils mit gleichem Abstand zu O displaystyle O nbsp und innen die Punkte D displaystyle D nbsp und E displaystyle E nbsp ebenfalls mit gleichem Abstand zu O displaystyle O nbsp damit ist A D E B displaystyle overline AD overline EB nbsp Man errichte einen Halbkreis uber A B displaystyle AB nbsp sowie zwei kleinere gleich grosse Halbkreise uber A D displaystyle AD nbsp und E B displaystyle EB nbsp Schliesslich zeichne man einen vierten Halbkreis unter D E displaystyle DE nbsp Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur blau in der Abbildung Sie schneidet die y displaystyle y nbsp Achse in den Punkten C displaystyle C nbsp und F displaystyle F nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Salinon nbsp ArbelosArchimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente Buch 2 Proposition 10 Bezeichnet man den Radius des grossen Halbkreises A B 2 A O displaystyle frac overline AB 2 overline AO nbsp mit R displaystyle R nbsp und den des kleinen mittleren Halbkreises D E 2 D O displaystyle frac overline DE 2 overline DO nbsp mit r displaystyle r nbsp so gilt fur die Flache A displaystyle A nbsp des Salinon A 1 4 p R r 2 displaystyle A frac 1 4 pi left R r right 2 nbsp Beweis Aus dem AnsatzA p r 2 2 p R 2 2 p R r 2 2 displaystyle A frac pi r 2 2 frac pi R 2 2 pi left frac R r 2 right 2 nbsp dd folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage Weiterhin lasst sich hieraus folgern dass der Kreis mit dem Durchmesser C F displaystyle overline CF nbsp rot in der Abbildung denselben Flacheninhalt hat wie das Salinon Beweis Der Durchmesser dieses Kreises ist die Summe aus dem Radius R displaystyle R nbsp des Halbkreises uber A B displaystyle AB nbsp und dem Radius r displaystyle r nbsp des Halbkreises uber D E displaystyle DE nbsp also betragt sein RadiusR r 2 displaystyle frac R r 2 nbsp dd und somit seine Flachenmasszahlp R r 2 2 1 4 p R r 2 displaystyle pi left frac R r 2 right 2 frac 1 4 pi left R r right 2 nbsp dd Daruber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils grossten Abstand zur x displaystyle x nbsp Achse darunter C displaystyle C nbsp und F displaystyle F nbsp bilden ein Quadrat Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter D E displaystyle DE nbsp zu Null wird die Punkte D displaystyle D nbsp und E displaystyle E nbsp also in O displaystyle O nbsp zusammenfallen geht das Salinon in einen zur y displaystyle y nbsp Achse spiegelsymmetrischen Arbelos uber eine weitere Figur aus Halbkreisen deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird Siehe auch BearbeitenArbelosLiteratur BearbeitenWolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Zweite korrigierte und erganzte Auflage Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63830 9 S 156 157Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Salinon Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Salinon In MathWorld englisch Alexander Bogomolny Salinon From Archimedes Book of Lemmas In Cut The Knot englisch Jurgen Koller Salinon In Mathematische BasteleienEinzelnachweise Bearbeiten Zur Namensherkunft vgl Archimedes Werke Mit modernen Bezeichnungen hrsg von Sir Thomas L Heath Deutsch von Dr Fritz Kliem Berlin Haring 1914 S 21 23 Anm 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Salinon amp oldid 231495082