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R Matrix In der statistischen Physik werden Matrizen R M a t n displaystyle R in Mat n welche der Yang Baxter Gleichung

R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen , welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang und Rodney Baxter):

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten Bearbeiten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine -Matrix mit Einträgen kann als Endomorphismus des mit Basis aufgefasst werden, also

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

wobei der Endomorphismus von ist, der auf den Faktoren als wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

und

R-Matrizen in der Quantenmechanik Bearbeiten

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie Bearbeiten

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
  2. Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR:75051
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In der statistischen Physik werden Matrizen R M a t n displaystyle R in Mat n welche der Yang Baxter Gleichung nach C N Yang 1 und Rodney Baxter 2 R 12 R 13 R 23 R 23 R 13 R 12 displaystyle R 12 R 13 R 23 R 23 R 13 R 12 genugen als R Matrizen bezeichnet In der Mathematik werden R Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung der Yang Baxter Gleichung in Koordinaten 2 R Matrizen in der Quantenmechanik 3 R Matrizen in der Knotentheorie 4 Literatur 5 EinzelnachweiseBeschreibung der Yang Baxter Gleichung in Koordinaten Bearbeiten nbsp Veranschaulichung der Yang Baxter GleichungEine n 2 n 2 displaystyle n 2 times n 2 nbsp Matrix R displaystyle R nbsp mit Eintragen r i j k l displaystyle r ij kl nbsp kann als Endomorphismus des C n C n displaystyle mathbb C n otimes mathbb C n nbsp mit Basis e i e j displaystyle e i otimes e j nbsp aufgefasst werden also R e i e j k l r i j k l e k e l displaystyle R e i otimes e j sum k l r ij kl e k otimes e l nbsp Die Yang Baxter Gleichung lasst sich schreiben als R 12 R 13 R 23 R 23 R 13 R 12 displaystyle R 12 R 13 R 23 R 23 R 13 R 12 nbsp wobei R i j displaystyle R ij nbsp der Endomorphismus von C n C n C n displaystyle mathbb C n otimes mathbb C n otimes mathbb C n nbsp ist der auf den Faktoren i j displaystyle i j nbsp als R displaystyle R nbsp wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitatsabbildung Also R 12 R i d R 23 i d R displaystyle R 12 R otimes id R 23 id otimes R nbsp und R 13 e i e j e k a b r i k a b e a e j e b displaystyle R 13 e i otimes e j otimes e k sum a b r ik ab e a otimes e j otimes e b nbsp R Matrizen in der Quantenmechanik BearbeitenEin eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel wenn seine Streumatrix der Yang Baxter Gleichung genugt also eine R Matrix ist R Matrizen in der Knotentheorie BearbeitenJede R Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden Literatur BearbeitenYang Baxter equation In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 J Park H Au Yang Yang Baxter equations In J P Francoise G L Naber Tsou S T Hrsg Encyclopedia of Mathematical Physics Volume 5 Elsevier Oxford 2006 ISBN 978 0 12 512666 3 S 465 473 M Jimbo Quantum R matrix for the generalized Toda system In Comm Math Phys 102 Nr 4 1986 S 537 547 doi 10 1007 BF01221646 Einzelnachweise Bearbeiten Yang Some exact results for the many body problem in one dimension with delta function interaction Phys Rev Lett Band 19 1967 S 1312 1314 doi 10 1103 PhysRevLett 19 1312 Baxter Solvable eight vertex model on an arbitrary planar lattice Phil Trans Royal Soc Band 289 1978 S 315 346 doi 10 1098 rsta 1978 0062 JSTOR 75051 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title R Matrix amp oldid 212042842