Der Separationsansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Der Produktansatz ist ein Spezialfall.
Allgemeines Bearbeiten
Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion auf folgende Weise trennen lässt
wobei und geeignete Funktionen sind.
Produktansatz Bearbeiten
Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion , so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form
darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen und in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck
Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.
Beispiel Bearbeiten
Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung
Der Separationsansatz mit :
führt auf
Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch mit der Annahme im Inneren der Fläche.
Vereinfachung der Notation und ergibt
Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also
Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.
Literatur Bearbeiten
- Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).