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Paradox von Hooper Das ist ein geometrischer Trugschluss bei dem eine Figur in vier Teile zerlegt wird die dann zu einem

Paradox von Hooper

Das Paradox von Hooper ist ein geometrischer Trugschluss, bei dem eine Figur in vier Teile zerlegt wird, die dann zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, dessen Flächeninhalt um zwei Flächeneinheiten geringer ist als der Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Paradox von Hooper

Analyse des Scheinparadox Bearbeiten

Analyse des Paradox von Hooper, das braune Parallelogramm ist die überlappende Fläche der beiden Dreiecke

Bei genauer Betrachtung sieht man, dass die Maße der beiden Dreiecke in der (unteren) Ausgangsfigur nicht mit denen der Dreiecke im Rechteck übereinstimmen. Die kleinere Kathete beträgt exakt 2 Längeneinheiten in der Ausgangsfigur, während sie im Rechteck nur 1,8 Längeneinheiten beträgt. Verwendet man daher die Dreiecke der Ausgangsfigur im Rechteck, so überlappen sie sich ein wenig, wodurch die Fläche eines schmalen Parallelogramms verloren geht. Die Seiten und Diagonalen des Parallelogramms lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.

Die Fläche des halben Parallelogramms lässt sich mit der Formel von Heron berechnen, dabei erhält man für den halbierten Umfang des Dreiecks beziehungsweise des halben Parallelogramms

und damit für die Fläche des gesamten Parallelogramms

Die scheinbar verschwundene Fläche entspricht also genau der parallelogrammförmigen überlappenden Fläche der vier Zerlegungsteile der Ausgangsfigur.

Geschichte Bearbeiten

William Hooper veröffentlichte das nach ihm benannte Scheinparadox 1774 unter dem Titel The geometric money in seinem vierbändigen Werk Rational Recreations allerdings noch mit einer fehlerhaften Zeichnung und Rechnung, die aber in der Ausgabe von 1782 korrigiert wurde. Das Paradox geht jedoch nicht auf Hooper selbst zurück, dessen Buch im Wesentlichen eine Übersetzung der Nouvelles récréations physiques et mathétiques des Franzosen Edmé Gilles Guyot (1706–1786) war. Dieses vierbändige Werk wurde 1769 in Frankreich veröffentlicht und enthielt in seiner Erstausgabe dieselbe falsche Zeichnung und Rechnung.

Literatur Bearbeiten

  • Martin Gardner: Mathematics, Magic and Mystery. Courier (Dover), 1956, ISBN 9780486203355, S. 129–155
  • Greg N. Frederickson: Dissections: Plane and Fancy. Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521525824, Kapitel 23, S. 268–277 insbesondere S. 271–274 (Online-Update zu Kapitel 23)
  • Simon During: Modern Enchantments: The Cultural Power of Secular Magic. Harvard University Press, 2004, ISBN 978-0674013711, S. 87
  • William Hooper: Rational Recreations. London, 1774, S. 286 (fehlerhafte Erstausgabe)
  • William Hooper: Rational Recreations. London, 1782, S. 286 (korrigierte Ausgabe)

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Das Paradox von Hooper ist ein geometrischer Trugschluss bei dem eine Figur in vier Teile zerlegt wird die dann zu einem Rechteck zusammengesetzt werden dessen Flacheninhalt um zwei Flacheneinheiten geringer ist als der Flacheninhalt der Ausgangsfigur Paradox von Hooper Inhaltsverzeichnis 1 Analyse des Scheinparadox 2 Geschichte 3 Literatur 4 WeblinksAnalyse des Scheinparadox Bearbeiten nbsp Analyse des Paradox von Hooper das braune Parallelogramm ist die uberlappende Flache der beiden DreieckeBei genauer Betrachtung sieht man dass die Masse der beiden Dreiecke in der unteren Ausgangsfigur nicht mit denen der Dreiecke im Rechteck ubereinstimmen Die kleinere Kathete betragt exakt 2 Langeneinheiten in der Ausgangsfigur wahrend sie im Rechteck nur 1 8 Langeneinheiten betragt Verwendet man daher die Dreiecke der Ausgangsfigur im Rechteck so uberlappen sie sich ein wenig wodurch die Flache eines schmalen Parallelogramms verloren geht Die Seiten und Diagonalen des Parallelogramms lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen d 1 2 2 1 2 5 displaystyle d 1 sqrt 2 2 1 2 sqrt 5 nbsp d 2 3 2 10 2 109 displaystyle d 2 sqrt 3 2 10 2 sqrt 109 nbsp s 1 2 2 6 2 40 displaystyle s 1 sqrt 2 2 6 2 sqrt 40 nbsp s 2 1 2 4 2 17 displaystyle s 2 sqrt 1 2 4 2 sqrt 17 nbsp Die Flache des halben Parallelogramms lasst sich mit der Formel von Heron berechnen dabei erhalt man fur den halbierten Umfang des Dreiecks beziehungsweise des halben Parallelogramms s d 1 s 1 s 2 2 5 17 40 2 displaystyle s frac d 1 s 1 s 2 2 frac sqrt 5 sqrt 17 sqrt 40 2 nbsp und damit fur die Flache des gesamten Parallelogramms F 2 s s s 1 s s 2 s d 1 2 1 4 5 17 40 5 17 40 5 17 40 5 17 40 2 1 4 16 2 displaystyle begin aligned F amp 2 cdot sqrt s cdot s s 1 cdot s s 2 cdot s d 1 amp 2 cdot frac 1 4 cdot sqrt sqrt 5 sqrt 17 sqrt 40 cdot sqrt 5 sqrt 17 sqrt 40 cdot sqrt 5 sqrt 17 sqrt 40 cdot sqrt 5 sqrt 17 sqrt 40 amp 2 cdot frac 1 4 cdot sqrt 16 amp 2 end aligned nbsp Die scheinbar verschwundene Flache entspricht also genau der parallelogrammformigen uberlappenden Flache der vier Zerlegungsteile der Ausgangsfigur Geschichte BearbeitenWilliam Hooper veroffentlichte das nach ihm benannte Scheinparadox 1774 unter dem Titel The geometric money in seinem vierbandigen Werk Rational Recreations allerdings noch mit einer fehlerhaften Zeichnung und Rechnung die aber in der Ausgabe von 1782 korrigiert wurde Das Paradox geht jedoch nicht auf Hooper selbst zuruck dessen Buch im Wesentlichen eine Ubersetzung der Nouvelles recreations physiques et mathetiques des Franzosen Edme Gilles Guyot 1706 1786 war Dieses vierbandige Werk wurde 1769 in Frankreich veroffentlicht und enthielt in seiner Erstausgabe dieselbe falsche Zeichnung und Rechnung Literatur BearbeitenMartin Gardner Mathematics Magic and Mystery Courier Dover 1956 ISBN 9780486203355 S 129 155 Greg N Frederickson Dissections Plane and Fancy Cambridge University Press 2003 ISBN 9780521525824 Kapitel 23 S 268 277 insbesondere S 271 274 Online Update zu Kapitel 23 Simon During Modern Enchantments The Cultural Power of Secular Magic Harvard University Press 2004 ISBN 978 0674013711 S 87 William Hooper Rational Recreations London 1774 S 286 fehlerhafte Erstausgabe William Hooper Rational Recreations London 1782 S 286 korrigierte Ausgabe Weblinks BearbeitenHooper s Paradox How Is It Possible auf cut the knot org Mariano Tomatis Curse of the crystal skulls and other vanishing area puzzles Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Paradox von Hooper amp oldid 203591173