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Normale Größenordnung In der Zahlentheorie ist die normale Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfach

Normale Größenordnung

In der Zahlentheorie ist die normale Größenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere oder besser verstandene Funktion, die „im Allgemeinen“ dieselben oder angenäherte Werte annimmt.

Definition Bearbeiten

Es sei eine Funktion über den natürlichen Zahlen. Man sagt, ist von der normalen Größenordnung , wenn für jedes die Ungleichung

für "fast alle" erfüllt ist. Damit ist hier gemeint, dass die asymptotische Dichte der Zahlen, die ihr genügen, gleich 1 ist: Wenn also als Anzahl dieser Zahlen im Intervall definiert wird, ist für jedes der Grenzwert .

Üblicherweise benutzt man Näherungsfunktionen , die stetig und monoton sind.

Natürlich besitzt nicht jede zahlentheoretische Funktion eine normale Größenordnung. So hat z. B. die Funktion

Beispiele Bearbeiten

Werte und normale Größenordnung von ω(n) und Ω(n)
Werte und normale Größenordnung von ln (d(n))
  • Die normale Größenordnung der Ordnung von , also der Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von , als auch von als Zahl der verschiedenen Primfaktoren, ist und ist damit auch gleich ihrer durchschnittlichen Größenordnung (Satz von Hardy und Ramanujan).
    Da die Funktion sehr langsam wächst, bedeutet das, dass z. B. eine Zahl in der Nähe von (näherungsweise die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum) im Allgemeinen aus 5 oder 6 Primfaktoren zusammengesetzt ist.
  • Die normale Größenordnung des Logarithmus der Teileranzahlfunktion ist (Hardy/Ramanujan). Das heißt, für beliebiges besteht die Ungleichung
    für fast alle .

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 145.
  2. Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 404.
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In der Zahlentheorie ist die normale Grossenordnung einer zahlentheoretischen Funktion eine einfachere oder besser verstandene Funktion die im Allgemeinen dieselben oder angenaherte Werte annimmt 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei f displaystyle f nbsp eine Funktion uber den naturlichen Zahlen Man sagt f displaystyle f nbsp ist von der normalen Grossenordnung g displaystyle g nbsp wenn fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp die Ungleichung f n g n lt e g n displaystyle f n g n lt varepsilon cdot g n nbsp fur fast alle n displaystyle n nbsp erfullt ist Damit ist hier gemeint dass die asymptotische Dichte der Zahlen die ihr genugen gleich 1 ist Wenn also a N e displaystyle a N varepsilon nbsp als Anzahl dieser Zahlen im Intervall n 1 N displaystyle n in 1 N nbsp definiert wird ist fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp der Grenzwert lim N a N e N 1 displaystyle lim N to infty frac a N varepsilon N 1 nbsp Ublicherweise benutzt man Naherungsfunktionen g displaystyle g nbsp die stetig und monoton sind Naturlich besitzt nicht jede zahlentheoretische Funktion eine normale Grossenordnung So hat z B die Funktion f n 0 displaystyle f n 0 nbsp n displaystyle n nbsp gerade f n 2 displaystyle f n 2 nbsp n displaystyle n nbsp ungerade keine normale Grossenordnung sie hat aber die durchschnittliche Grossenordnung f n 1 displaystyle f n sim 1 nbsp Beispiele Bearbeiten nbsp Werte und normale Grossenordnung von w n und W n nbsp Werte und normale Grossenordnung von ln d n Die normale Grossenordnung der Ordnung W n displaystyle Omega n nbsp von n displaystyle n nbsp also der Anzahl der nicht notwendigerweise verschiedenen Primfaktoren von n displaystyle n nbsp als auch von w n displaystyle omega n nbsp als Zahl der verschiedenen Primfaktoren ist ln ln n displaystyle ln ln n nbsp und ist damit auch gleich ihrer durchschnittlichen Grossenordnung Satz von Hardy und Ramanujan Da die Funktion ln ln n displaystyle ln ln n nbsp sehr langsam wachst bedeutet das dass z B eine Zahl in der Nahe von 10 80 displaystyle 10 80 nbsp naherungsweise die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum im Allgemeinen aus 5 oder 6 Primfaktoren zusammengesetzt ist Die normale Grossenordnung des Logarithmus der Teileranzahlfunktion ln d n displaystyle ln d n nbsp ist ln 2 ln ln n displaystyle ln 2 cdot ln ln n nbsp Hardy Ramanujan Das heisst fur beliebiges e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp besteht die Ungleichung 2 1 e ln ln n lt d n lt 2 1 e ln ln n displaystyle 2 1 varepsilon ln ln n lt d n lt 2 1 varepsilon ln ln n nbsp fur fast alle n displaystyle n nbsp Siehe auch BearbeitenDurchschnittliche GrossenordnungWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Normal Order In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten E Kratzel Zahlentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1981 S 145 Godfrey Harold Hardy E M Wright Einfuhrung in die Zahlentheorie R Oldenbourg Munchen 1958 S 404 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normale Grossenordnung amp oldid 195677742