Eine Newton Cotes Formel nach Isaac Newton und Roger Cotes ist eine numerische Quadraturformel zur naherungsweisen Berechnung von Integralen Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Naherung exakt zu integrieren Die Stutzstellen der Interpolation werden dabei aquidistant gewahlt Newton Cotes Formel fur n 2 Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Definition 2 1 Abgeschlossene Newton Cotes Formeln 2 2 Offene Newton Cotes Formeln 2 3 Maclaurin Quadraturformeln 3 Summierte Newton Cotes Formeln 4 Literatur 5 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenFur das zu integrierende Interpolationspolynom p n x displaystyle p n x nbsp vom Grad n displaystyle n nbsp werden die Stutzstellen a x 0 lt x 1 lt lt x n b displaystyle a leq x 0 lt x 1 lt dotsb lt x n leq b nbsp aquidistant mit dem konstanten Abstand h x i 1 x i displaystyle h x i 1 x i nbsp so gewahlt dass sie symmetrisch zur Intervallmitte a b 2 displaystyle tfrac a b 2 nbsp des Integrationsintervalls a b displaystyle a b nbsp liegen Somit gilt x n i a b x i displaystyle x n i a b x i nbsp Mit x 0 a displaystyle x 0 a nbsp und somit x n b displaystyle x n b nbsp erhalt man n displaystyle n nbsp Intervalle der Lange h displaystyle h nbsp und somit h b a n displaystyle h tfrac b a n nbsp und x i a i h displaystyle x i a i cdot h nbsp Diese Formeln werden abgeschlossene Newton Cotes Formeln genannt Mit x 0 a displaystyle x 0 neq a nbsp und somit x n b displaystyle x n neq b nbsp erhalt man offene Quadratur Formeln Wahlt man x 0 a h displaystyle x 0 a h nbsp und somit x n b h displaystyle x n b h nbsp erhalt man n 2 displaystyle n 2 nbsp Intervalle der Lange h displaystyle h nbsp und somit h b a n 2 displaystyle h tfrac b a n 2 nbsp und x i a 1 i h displaystyle x i a 1 i cdot h nbsp Diese Formeln werden offene Newton Cotes Formeln genannt Wahlt man x 0 a h 2 displaystyle x 0 a tfrac h 2 nbsp und somit x n b h 2 displaystyle x n b tfrac h 2 nbsp erhalt man n 1 displaystyle n 1 nbsp Intervalle der Lange h displaystyle h nbsp und somit h b a n 1 displaystyle h tfrac b a n 1 nbsp und x i a 1 2 i h displaystyle x i a left tfrac 1 2 i right cdot h nbsp Diese Formeln werden Maclaurin Formeln genannt Zur numerischen Integration von a b f x d x displaystyle int limits a b f x dx nbsp wird das Interpolationspolynom p n x displaystyle p n x nbsp der Funktion f x displaystyle f x nbsp zu den gegebenen Stutzstellen herangezogen Fur dieses gilt p n x i 0 n f x i l i x displaystyle p n x sum i 0 n f x i l i x nbsp wobei l i displaystyle l i nbsp die Lagrange Basispolynome sind Daraus folgt a b p n x d x b a i 0 n f x i 1 b a a b l i x d x displaystyle int limits a b p n x dx b a sum i 0 n f x i frac 1 b a int limits a b l i x dx nbsp Definition BearbeitenFur die Newton Cotes Formel folgt dann a b f x d x a b p n x d x b a i 0 n w i f x i displaystyle int limits a b f x dx approx int limits a b p n x dx b a sum i 0 n w i f x i nbsp mit den Gewichten w i 1 b a a b l i x d x displaystyle w i frac 1 b a int limits a b l i x dx nbsp Die Gewichte sind symmetrisch das heisst w n i w i displaystyle w n i w i nbsp l i x 0 j n j i x x j x i x j x x 0 x x i 1 x x i 1 x x n x i x 0 x i x i 1 x i x i 1 x i x n displaystyle l i x prod begin smallmatrix 0 leq j leq n j neq i end smallmatrix frac x x j x i x j frac x x 0 dotsm x x i 1 x x i 1 dotsm x x n x i x 0 dotsm x i x i 1 x i x i 1 dotsm x i x n nbsp Wegen der speziellen Wahl der Stutzstellen integrieren die Quadraturformeln bei ungeradem n displaystyle n nbsp Polynome bis zum Grad n displaystyle n nbsp bei geradem n displaystyle n nbsp sogar bis zum Grad n 1 displaystyle n 1 nbsp exakt Somit sind Quadraturformeln mit geradem n displaystyle n nbsp also einer ungeraden Anzahl an Stutzstellen denen mit ungeradem n displaystyle n nbsp vorzuziehen Diese Eigenschaft nennt man auch den Genauigkeitsgrad der Quadraturformel Speziell gilt fur f x 1 displaystyle f x 1 nbsp dass a b f x d x a b 1 d x b a b a i 0 n w i 1 b a i 0 n w i displaystyle int limits a b f x dx int limits a b 1 dx b a b a sum i 0 n w i cdot 1 b a sum i 0 n w i nbsp und somit i 0 n w i 1 displaystyle sum i 0 n w i 1 nbsp Falls i 0 n w i gt i 0 n w i 1 displaystyle sum i 0 n w i gt sum i 0 n w i 1 nbsp was bei Gewichten mit verschiedenen Vorzeichen der Fall ist besteht die Gefahr dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Ausloschung eintritt Daher sind aus numerischen Grunden Quadraturformeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen Da fur grosses n displaystyle n nbsp das Interpolationspolynom p n x displaystyle p n x nbsp unbrauchbar ist sind ebenso Quadraturformeln mit grossem n displaystyle n nbsp nicht empfehlenswert Will man bessere Naherungen erreichen so empfiehlt sich die Verwendung von summierten Quadraturformeln E f a b f x d x a b p n x d x displaystyle E f int limits a b f x dx int limits a b p n x dx nbsp ist der Fehler Verfahrensfehler der bei der Anwendung der Quadraturformel gemacht wird Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stutzstellen fur p 1 displaystyle p 1 nbsp mal auf a b displaystyle a b nbsp stetig differenzierbar reellwertige Funktionen f x displaystyle f x nbsp immer die Form E f K f p 1 3 displaystyle E f K cdot f p 1 xi nbsp wobei K displaystyle K nbsp eine von f x displaystyle f x nbsp unabhangige Konstante und 3 a b displaystyle xi in a b nbsp ein nur in Ausnahmefallen bekannter Zwischenwert ist Ware er generell bekannt konnte man E f displaystyle E f nbsp und somit auch das Integral exakt ausrechnen im Widerspruch zu der Tatsache dass es unendlich viele Integrale gibt die man nicht exakt berechnen kann Der Fehler ist Null fur alle Funktionen deren p 1 displaystyle p 1 nbsp te Ableitung Null ist also fur alle Polynome vom Grad kleiner gleich p displaystyle p nbsp Somit ist p displaystyle p nbsp der Genauigkeitsgrad der Quadraturformel Der Wert p 1 displaystyle p 1 nbsp wird auch als polynomiale Ordnung der Quadraturformel bezeichnet Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhalt man die Fehlerabschatzung E f K max a 3 b f p 1 3 displaystyle E f leq K cdot max a leq xi leq b left f p 1 xi right nbsp Der exakte Fehler ist immer kleiner gleich als diese Fehlerabschatzung wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen Abgeschlossene Newton Cotes Formeln Bearbeiten Die angegebenen Stutzstellen t i displaystyle t i nbsp gelten fur das Integrationsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp t 0 0 t i i n t n 1 displaystyle t 0 0 t i frac i n t n 1 nbsp Fur ein allgemeines Intervall a b displaystyle a b nbsp sind die Stutzstellen x i a t i b a displaystyle x i a t i cdot b a nbsp n displaystyle n nbsp Name Stutzstellen t i displaystyle t i nbsp Gewichte w i displaystyle w i nbsp E f displaystyle E f nbsp 1 Trapezregel Sehnentrapezregel 0 1 displaystyle 0 quad 1 nbsp 1 2 1 2 displaystyle frac 1 2 quad frac 1 2 nbsp b a 3 12 f 3 displaystyle frac b a 3 12 f xi nbsp 2 Simpson Regel Keplersche Fassregel 0 1 2 1 displaystyle 0 quad frac 1 2 quad 1 nbsp 1 6 4 6 1 6 displaystyle frac 1 6 quad frac 4 6 quad frac 1 6 nbsp b a 2 5 90 f 4 3 displaystyle frac left frac b a 2 right 5 90 f 4 xi nbsp 3 3 8 Regel Pulcherrima 0 1 3 2 3 1 displaystyle 0 quad frac 1 3 quad frac 2 3 quad 1 nbsp 1 8 3 8 3 8 1 8 displaystyle frac 1 8 quad frac 3 8 quad frac 3 8 quad frac 1 8 nbsp 3 b a 3 5 80 f 4 3 displaystyle frac 3 left frac b a 3 right 5 80 f 4 xi nbsp 4 Milne Regel Boole Regel 0 1 4 2 4 3 4 1 displaystyle 0 quad frac 1 4 quad frac 2 4 quad frac 3 4 quad 1 nbsp 7 90 32 90 12 90 32 90 7 90 displaystyle frac 7 90 quad frac 32 90 quad frac 12 90 quad frac 32 90 quad frac 7 90 nbsp 8 b a 4 7 945 f 6 3 displaystyle frac 8 left frac b a 4 right 7 945 f 6 xi nbsp 5 6 Punkt Regel 0 1 5 2 5 3 5 4 5 1 displaystyle 0 quad frac 1 5 quad frac 2 5 quad frac 3 5 quad frac 4 5 quad 1 nbsp 19 288 75 288 50 288 50 288 75 288 19 288 displaystyle frac 19 288 quad frac 75 288 quad frac 50 288 quad frac 50 288 quad frac 75 288 quad frac 19 288 nbsp 275 b a 5 7 12 096 f 6 3 displaystyle frac 275 left frac b a 5 right 7 12 096 f 6 xi nbsp 6 Weddle Regel nach Thomas Weddle 1817 1853 1 0 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 1 displaystyle 0 quad frac 1 6 quad frac 2 6 quad frac 3 6 quad frac 4 6 quad frac 5 6 quad 1 nbsp 41 840 216 840 27 840 272 840 27 840 216 840 41 840 displaystyle frac 41 840 quad frac 216 840 quad frac 27 840 quad frac 272 840 quad frac 27 840 quad frac 216 840 quad frac 41 840 nbsp 9 b a 6 9 1400 f 8 3 displaystyle frac 9 left frac b a 6 right 9 1400 f 8 xi nbsp Die gekurzten Werte aller Gewichte bis n 10 displaystyle n 10 nbsp betragen 2 n 1 1 2 1 2 n 2 1 6 2 3 1 6 n 3 1 8 3 8 3 8 1 8 n 4 7 90 16 45 2 15 16 45 7 90 n 5 19 288 25 96 25 144 25 144 25 96 19 288 n 6 41 840 9 35 9 280 34 105 9 280 9 35 41 840 n 7 751 17280 3577 17280 49 640 2989 17280 2989 17280 49 640 3577 17280 751 17280 n 8 989 28350 2944 14175 464 14175 5248 14175 454 2835 5248 14175 464 14175 2944 14175 989 28350 n 9 2857 89600 15741 89600 27 2240 1209 5600 2889 44800 2889 44800 1209 5600 27 2240 15741 89600 2857 89600 n 10 16067 598752 26575 149688 16175 199584 5675 12474 4825 11088 17807 24948 4825 11088 5675 12474 16175 199584 26575 149688 16067 598752 Fur n 8 displaystyle n 8 nbsp gilt w i lt 0 displaystyle w i lt 0 nbsp fur i 2 4 6 displaystyle i 2 4 6 nbsp und i 0 n w i 1 45 displaystyle textstyle sum i 0 n w i 1 45 dotso nbsp Fur n 10 displaystyle n 10 nbsp gilt i 0 n w i 3 064 79477312810646143979477312810 displaystyle sum i 0 n w i 3 06479477312810646143979477312810 dotso nbsp Beispiel 1 3 1 x d x ln 3 ln 1 ln 3 1 098 61 23 displaystyle int limits 1 3 frac 1 x dx ln 3 ln 1 ln 3 1 09861 23 dotso nbsp Naherung mit Simpson Regel n 2 displaystyle n 2 nbsp Es gilt h b a n 2 2 1 displaystyle h frac b a n frac 2 2 1 nbsp und x 0 a 1 displaystyle x 0 a 1 nbsp 1 3 p 2 x d x 2 1 6 f 1 4 6 f 2 1 6 f 3 2 1 6 1 4 6 1 2 1 6 1 3 10 9 1 1 displaystyle int limits 1 3 p 2 x dx 2 cdot left frac 1 6 f 1 frac 4 6 f 2 frac 1 6 f 3 right 2 cdot left frac 1 6 cdot 1 frac 4 6 cdot frac 1 2 frac 1 6 cdot frac 1 3 right frac 10 9 1 overline 1 nbsp Verfahrensfehler Mit f 4 3 4 3 5 displaystyle f 4 xi frac 4 xi 5 nbsp erhalt man E f 1 90 2 2 5 4 3 5 4 15 1 3 5 displaystyle E f frac 1 90 cdot left frac 2 2 right 5 cdot frac 4 xi 5 frac 4 15 cdot frac 1 xi 5 nbsp mit 3 1 3 displaystyle xi in 1 3 nbsp Fehlerabschatzung E f 4 15 max 1 3 3 1 3 5 4 15 1 1 0 2 6 displaystyle E f leq frac 4 15 cdot max 1 leq xi leq 3 left frac 1 xi 5 right frac 4 15 cdot frac 1 1 0 2 overline 6 nbsp Exakter Fehler E f 1 3 1 x d x 1 3 p 2 x d x 1 098 61 23 1 1 0 012 49 88 lt 0 2 6 displaystyle E f left int limits 1 3 frac 1 x dx int limits 1 3 p 2 x dx right left 1 09861 23 dotso 1 overline 1 right 0 01249 88 dotso lt 0 2 overline 6 nbsp Offene Newton Cotes Formeln Bearbeiten Die Stutzstellen t i displaystyle t i nbsp gelten fur das Integrationsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp t 0 1 n 2 t i i 1 n 2 t n n 1 n 2 displaystyle t 0 tfrac 1 n 2 t i tfrac i 1 n 2 t n tfrac n 1 n 2 nbsp Fur ein allgemeines Intervall a b displaystyle a b nbsp sind die Stutzstellen x i a t i b a displaystyle x i a t i cdot b a nbsp n displaystyle n nbsp Name Stutzstellen t i displaystyle t i nbsp Gewichte w i displaystyle w i nbsp E f displaystyle E f nbsp 0 Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp 1 displaystyle 1 quad nbsp b a 3 24 f 3 displaystyle frac b a 3 24 f xi nbsp 1 1 3 2 3 displaystyle frac 1 3 quad frac 2 3 nbsp 1 2 1 2 displaystyle frac 1 2 quad frac 1 2 nbsp 3 b a 3 3 4 f 3 displaystyle frac 3 left frac b a 3 right 3 4 f xi nbsp 2 1 4 2 4 3 4 displaystyle frac 1 4 quad frac 2 4 quad frac 3 4 nbsp 2 3 1 3 2 3 displaystyle frac 2 3 quad frac 1 3 quad frac 2 3 nbsp 14 b a 4 5 45 f 4 3 displaystyle frac 14 left frac b a 4 right 5 45 f 4 xi nbsp 3 1 5 2 5 3 5 4 5 displaystyle frac 1 5 quad frac 2 5 quad frac 3 5 quad frac 4 5 nbsp 11 24 1 24 1 24 11 24 displaystyle frac 11 24 quad frac 1 24 quad frac 1 24 quad frac 11 24 nbsp 95 b a 5 5 144 f 4 3 displaystyle frac 95 left frac b a 5 right 5 144 f 4 xi nbsp 4 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 displaystyle frac 1 6 quad frac 2 6 quad frac 3 6 quad frac 4 6 quad frac 5 6 nbsp 11 20 14 20 26 20 14 20 11 20 displaystyle frac 11 20 quad frac 14 20 quad frac 26 20 quad frac 14 20 quad frac 11 20 nbsp 41 b a 6 7 140 f 6 3 displaystyle frac 41 left frac b a 6 right 7 140 f 6 xi nbsp 5 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 displaystyle frac 1 7 quad frac 2 7 quad frac 3 7 quad frac 4 7 quad frac 5 7 quad frac 6 7 nbsp 611 1440 453 1440 562 1440 562 1440 453 1440 611 1440 displaystyle frac 611 1440 quad frac 453 1440 quad frac 562 1440 quad frac 562 1440 quad frac 453 1440 quad frac 611 1440 nbsp 5257 b a 7 7 8640 f 6 3 displaystyle frac 5257 left frac b a 7 right 7 8640 f 6 xi nbsp 6 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 displaystyle frac 1 8 quad frac 2 8 quad frac 3 8 quad frac 4 8 quad frac 5 8 quad frac 6 8 quad frac 7 8 nbsp 460 945 954 945 2196 945 2459 945 2196 945 954 945 460 945 displaystyle frac 460 945 quad frac 954 945 quad frac 2196 945 quad frac 2459 945 quad frac 2196 945 quad frac 954 945 quad frac 460 945 nbsp 3956 b a 8 9 14 175 f 8 3 displaystyle frac 3956 left frac b a 8 right 9 14 175 f 8 xi nbsp Fur n 5 displaystyle n 5 nbsp gilt i 0 n w i 3252 1440 2 258 33 3 displaystyle textstyle sum i 0 n w i frac 3252 1440 2 25833 3 dotso nbsp Fur n 6 displaystyle n 6 nbsp gilt i 0 n w i 9679 945 10 24 displaystyle textstyle sum i 0 n w i frac 9679 945 10 24 dotso nbsp Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert Die Formel fur n 1 displaystyle n 1 nbsp hat bei hoherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel die hoheren Formeln haben negative Gewichte Beispiel 1 3 1 x d x ln 3 ln 1 ln 3 1 098 61 23 displaystyle int limits 1 3 frac 1 x dx ln 3 ln 1 ln 3 1 09861 23 dotso nbsp Naherung mit der Formel fur n 2 displaystyle n 2 nbsp Es gilt h b a n 2 2 4 1 2 displaystyle h frac b a n 2 frac 2 4 frac 1 2 nbsp und x 0 a h 3 2 displaystyle x 0 a h frac 3 2 nbsp 1 3 p 2 x d x 2 2 3 f 3 2 1 3 f 4 2 2 3 f 5 2 2 2 3 2 3 1 3 2 4 2 3 2 5 49 45 1 0 8 displaystyle int limits 1 3 p 2 x dx 2 cdot left frac 2 3 f left frac 3 2 right frac 1 3 f left frac 4 2 right frac 2 3 f left frac 5 2 right right 2 cdot left frac 2 3 cdot frac 2 3 frac 1 3 cdot frac 2 4 frac 2 3 cdot frac 2 5 right frac 49 45 1 0 overline 8 nbsp Verfahrensfehler Mit f 4 3 4 3 5 displaystyle f 4 xi frac 4 xi 5 nbsp erhalt man E f 14 45 2 4 5 4 3 5 7 30 1 3 5 displaystyle E f frac 14 45 cdot left frac 2 4 right 5 cdot frac 4 xi 5 frac 7 30 cdot frac 1 xi 5 nbsp mit 3 1 3 displaystyle xi in 1 3 nbsp Fehlerabschatzung E f 7 30 max 1 3 3 1 3 5 7 30 1 1 0 2 3 displaystyle E f leq frac 7 30 cdot max 1 leq xi leq 3 left frac 1 xi 5 right frac 7 30 cdot frac 1 1 0 2 overline 3 nbsp Exakter Fehler E f 1 3 1 x d x 1 3 p 2 x d x 1 098 61 23 1 0 8 0 009 72 33997 79 lt 0 2 3 displaystyle E f left int limits 1 3 frac 1 x dx int limits 1 3 p 2 x dx right left 1 09861 23 dotso 1 0 overline 8 right 0 00972 33997 79 dotso lt 0 2 overline 3 nbsp Maclaurin Quadraturformeln Bearbeiten Diese Formeln sind nach Colin Maclaurin benannt Die Stutzstellen t i displaystyle t i nbsp gelten fur das Integrationsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp t 0 1 2 n 2 t i 2 i 1 2 n 2 t n 2 n 1 2 n 2 displaystyle t 0 tfrac 1 2n 2 t i tfrac 2i 1 2n 2 t n tfrac 2n 1 2n 2 nbsp Fur ein allgemeines Intervall a b displaystyle a b nbsp sind die Stutzstellen x i a t i b a displaystyle x i a t i cdot b a nbsp n displaystyle n nbsp Name Stutzstellen t i displaystyle t i nbsp Gewichte w i displaystyle w i nbsp E f displaystyle E f nbsp 0 Rechteckregel Mittelpunktsregel Tangententrapezregel 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp 1 displaystyle 1 quad nbsp b a 3 24 f 3 displaystyle frac b a 3 24 f xi nbsp 1 1 4 3 4 displaystyle frac 1 4 quad frac 3 4 nbsp 1 2 1 2 displaystyle frac 1 2 quad frac 1 2 nbsp b a 2 3 12 f 3 displaystyle frac left frac b a 2 right 3 12 f xi nbsp 2 1 6 1 2 5 6 displaystyle frac 1 6 quad frac 1 2 quad frac 5 6 nbsp 3 8 2 8 3 8 displaystyle frac 3 8 quad frac 2 8 quad frac 3 8 nbsp 21 b a 3 5 640 f 4 3 displaystyle frac 21 left frac b a 3 right 5 640 f 4 xi nbsp 3 1 8 3 8 5 8 7 8 displaystyle frac 1 8 quad frac 3 8 quad frac 5 8 quad frac 7 8 nbsp 13 48 11 48 11 48 13 48 displaystyle frac 13 48 quad frac 11 48 quad frac 11 48 quad frac 13 48 nbsp 103 b a 4 5 1440 f 4 3 displaystyle frac 103 left frac b a 4 right 5 1440 f 4 xi nbsp 4 1 10 3 10 5 10 7 10 9 10 displaystyle frac 1 10 quad frac 3 10 quad frac 5 10 quad frac 7 10 quad frac 9 10 nbsp 275 1152 100 1152 402 1152 100 1152 275 1152 displaystyle frac 275 1152 quad frac 100 1152 quad frac 402 1152 quad frac 100 1152 quad frac 275 1152 nbsp 5575 b a 5 7 193 536 f 6 3 displaystyle frac 5575 left frac b a 5 right 7 193 536 f 6 xi nbsp Fur n 6 displaystyle n 6 nbsp gilt i 0 n w i 1 363 displaystyle sum i 0 n w i 1 363 dotso nbsp Fur n 8 displaystyle n 8 nbsp gilt i 0 n w i 3 433 displaystyle sum i 0 n w i 3 433 dotso nbsp Beispiel 1 3 1 x d x ln 3 ln 1 ln 3 1 098 61 23 displaystyle int limits 1 3 frac 1 x dx ln 3 ln 1 ln 3 1 09861 23 dotso nbsp Naherung mit der Formel fur n 2 displaystyle n 2 nbsp Es gilt h b a n 1 2 3 displaystyle h frac b a n 1 frac 2 3 nbsp und x 0 a h 2 4 3 displaystyle x 0 a frac h 2 frac 4 3 nbsp 1 3 p 2 x d x 2 3 8 f 4 3 2 8 f 6 3 3 8 f 8 3 2 3 8 3 4 2 8 3 6 3 8 3 8 105 96 1 093 75 displaystyle int limits 1 3 p 2 x dx 2 cdot left frac 3 8 f left frac 4 3 right frac 2 8 f left frac 6 3 right frac 3 8 f left frac 8 3 right right 2 cdot left frac 3 8 cdot frac 3 4 frac 2 8 cdot frac 3 6 frac 3 8 cdot frac 3 8 right frac 105 96 1 09375 nbsp Verfahrensfehler Mit f 4 3 4 3 5 displaystyle f 4 xi frac 4 xi 5 nbsp erhalt man E f 21 640 2 3 5 4 3 5 14 135 1 3 5 displaystyle E f frac 21 640 cdot left frac 2 3 right 5 cdot frac 4 xi 5 frac 14 135 cdot frac 1 xi 5 nbsp mit 3 1 3 displaystyle xi in 1 3 nbsp Fehlerabschatzung E f 14 135 max 1 3 3 1 3 5 14 135 1 1 0 1 037 displaystyle E f leq frac 14 135 cdot max 1 leq xi leq 3 left frac 1 xi 5 right frac 14 135 cdot frac 1 1 0 1 overline 037 nbsp Exakter Fehler E f 1 3 1 x d x 1 3 p 2 x d x 1 098 61 23 1 093 75 0 000 48 6229 lt 0 1 037 displaystyle E f left int limits 1 3 frac 1 x dx int limits 1 3 p 2 x dx right 1 09861 23 dotso 1 09375 0 00048 6229 dotso lt 0 1 overline 037 nbsp Summierte Newton Cotes Formeln BearbeitenAb Grad 8 treten bei vielen Newton Cotes Formeln negative Gewichte auf was die Gefahr der Ausloschung mit sich bringt Ausserdem kann man im Allgemeinen keine Konvergenz erwarten da die Polynominterpolation schlecht konditioniert ist Bei grosseren Integrationsbereichen a b displaystyle a b nbsp unterteilt man diese daher in einzelne Teilintervalle und wendet auf jedes einzelne Teilintervall eine Formel niedriger Ordnung an Literatur BearbeitenHans R Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 6 Auflage Teubner Stuttgart 2006 ISBN 3 519 42960 8 S 311 316 Roland W Freund Ronald H W Hoppe Stoer Bulirsch Numerische Mathematik 1 10 Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 45389 5 S 164 169 Michael R Schaferkotter Prem K Kythe Handbook of Computational Methods for Integration Chapman amp Hall Boca Raton 2005 ISBN 1 58488 428 2 S 54 62 503 505 Gunter Barwolf Numerik fur Ingenieure Physiker und Informatiker ISBN 978 3 8274 1689 6 Spektrum Munchen 2007 S 128 Gisela Engeln Mullges Klaus Niederdrenk Reinhard Wodicka Numerik Algorithmen Verfahren Beispiele Anwendungen ISBN 978 3 642 13472 2 Springer Berlin und Heidelberg 2011 Einzelnachweise Bearbeiten Thomas Weddle Newcastle upon Tyne A new simple and general method of solving numerical equations of all orders Hamilton Adams amp Co and J Philipson London 1842 Internet Archive 52 S WolframAlpha wolframalpha com abgerufen am 14 September 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Newton Cotes Formeln amp oldid 231605622
