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Nakajima Zwanzig Gleichung Die benannt nach den beiden Physikern Sadao Nakajima und Robert Zwanzig ist eine Integrodiffe

Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwanzig-Gleichung (benannt nach den beiden Physikern Sadao Nakajima und Robert Zwanzig) ist eine Integrodifferentialgleichung, welche die Zeitentwicklung des „relevanten“ Anteils eines quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteoperatorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.

Die Gleichung ist Teil der Mori-Zwanzig-Theorie in der statistischen Mechanik irreversibler Prozesse (benannt zusätzlich nach Hazime Mori). Dabei wird mit Hilfe eines Projektionsoperators die Dynamik in einen langsamen, kollektiven Anteil zerlegt (relevanter Anteil) und in einen schnell fluktuierenden irrelevanten Anteil. Ziel ist es, dynamische Gleichungen für den kollektiven Anteil zu entwickeln.

Herleitung Bearbeiten

Beginnend mit der quantenmechanischen Liouville-Gleichung (von Neumann Gleichung)

mit dem Liouvilleoperator definiert durch .

Der Dichteoperator (Dichtematrix) wird durch den Projektionsoperator in zwei Anteile zerlegt, mit . Der Projektionsoperator projiziert auf den oben angesprochenen relevanten Anteil, für den eine Bewegungsgleichung abgeleitet werden soll.

Die Liouville - von Neumann Gleichung kann also durch

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

gelöst. Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet und der Abkürzung

sowie der Ausnutzung von erhält man die endgültige Form

Literatur Bearbeiten

  • E. Fick, G. Sauermann: The Quantum Statistics of Dynamic Processes. Springer-Verlag, 1983, ISBN 3-540-50824-4.
  • Heinz-Peter Breuer, Francesco Petruccione: Theory of Open Quantum Systems. Oxford 2002, ISBN 0-19-852063-8.
  • Hermann Grabert: Projection operator techniques in nonequilibrium statistical mechanics. (= Springer Tracts in Modern Physics. Band 95). 1982.
  • R. Kühne, P. Reineker: Nakajima-Zwanzig's generalized master equation: Evaluation of the kernel of the integro-differential equation. In: Zeitschrift für Physik B (Condensed Matter). Band 31, 1978, S. 105–110. doi:10.1007/BF01320131

Originalarbeiten Bearbeiten

  • Sadao Nakajima: On Quantum Theory of Transport Phenomena. In: Progress of Theoretical Physics. Band 20, Nr. 6, 1958, S. 948–959.
  • Robert Zwanzig: Ensemble Method in the Theory of Irreversibility. In: Journal of Chemical Physics. Band 33, Nr. 5, 1960, S. 1338–1341.

Quellen Bearbeiten

Anmerkungen und Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Die Herleitung findet sich ähnlich wie hier z. B. in H.-P. Breuer, F. Petruccione: The theory of open quantum systems. Oxford University Press, 2002, S. 443ff.
  2. Dies kann man machen, wenn man annimmt, dass der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt 0 ist, also der Projektor für t=0 die Identität ist.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Nakajima Zwanzig Gleichung benannt nach den beiden Physikern Sadao Nakajima und Robert Zwanzig ist eine Integrodifferentialgleichung welche die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eines quantenmechanischen Systems beschreibt Sie wird im Dichteoperatorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden Die Gleichung ist Teil der Mori Zwanzig Theorie in der statistischen Mechanik irreversibler Prozesse benannt zusatzlich nach Hazime Mori Dabei wird mit Hilfe eines Projektionsoperators die Dynamik in einen langsamen kollektiven Anteil zerlegt relevanter Anteil und in einen schnell fluktuierenden irrelevanten Anteil Ziel ist es dynamische Gleichungen fur den kollektiven Anteil zu entwickeln Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Literatur 2 1 Originalarbeiten 3 Quellen 4 Anmerkungen und EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenBeginnend 1 mit der quantenmechanischen Liouville Gleichung von Neumann Gleichung d t r i ℏ r H L r displaystyle d t rho frac i hbar rho H L rho nbsp mit dem Liouvilleoperator L displaystyle L nbsp definiert durch L A i ℏ A H displaystyle LA frac i hbar A H nbsp Der Dichteoperator Dichtematrix r displaystyle rho nbsp wird durch den Projektionsoperator P displaystyle mathcal P nbsp in zwei Anteile r P Q r displaystyle rho left mathcal P mathcal Q right rho nbsp zerlegt mit Q 1 P displaystyle mathcal Q equiv 1 mathcal P nbsp Der Projektionsoperator P displaystyle mathcal P nbsp projiziert auf den oben angesprochenen relevanten Anteil fur den eine Bewegungsgleichung abgeleitet werden soll Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch d t P Q r P Q L P Q r P Q L Q P r displaystyle d t left begin matrix mathcal P mathcal Q end matrix right rho left begin matrix mathcal P mathcal Q end matrix right L left begin matrix mathcal P mathcal Q end matrix right rho left begin matrix mathcal P mathcal Q end matrix right L left begin matrix mathcal Q mathcal P end matrix right rho nbsp dargestellt werden Die zweite Zeile wird formal durch Q r e Q L t Q r t 0 0 t d t e Q L t Q L P r t t displaystyle mathcal Q rho e mathcal Q Lt Q rho t 0 int 0 t dt e mathcal Q Lt mathcal Q L mathcal P rho t t nbsp gelost Eingesetzt in die erste Gleichung erhalt man die Nakajima Zwanzig Gleichung d t P r P L P r P L e Q L t Q r t 0 0 P L 0 t d t e Q L t Q L P r t t displaystyle text d t mathcal P rho mathcal P L mathcal P rho underbrace mathcal P L e mathcal Q Lt Q rho t 0 0 mathcal P L int 0 t dt e mathcal Q Lt mathcal Q L mathcal P rho t t nbsp Unter der Annahme dass der inhomogene Term verschwindet 2 und der Abkurzung K t P L e Q L t Q L P displaystyle mathcal K left t right mathcal P L e mathcal Q Lt mathcal Q L mathcal P nbsp P r r r e l displaystyle mathcal P rho equiv rho rel nbsp sowie der Ausnutzung von P 2 P displaystyle mathcal P 2 mathcal P nbsp erhalt man die endgultige Form d t r r e l P L r r e l 0 t d t K t r r e l t t displaystyle text d t rho rel mathcal P L rho rel int 0 t dt mathcal K t rho rel t t nbsp dd Literatur BearbeitenE Fick G Sauermann The Quantum Statistics of Dynamic Processes Springer Verlag 1983 ISBN 3 540 50824 4 Heinz Peter Breuer Francesco Petruccione Theory of Open Quantum Systems Oxford 2002 ISBN 0 19 852063 8 Hermann Grabert Projection operator techniques in nonequilibrium statistical mechanics Springer Tracts in Modern Physics Band 95 1982 R Kuhne P Reineker Nakajima Zwanzig s generalized master equation Evaluation of the kernel of the integro differential equation In Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter Band 31 1978 S 105 110 doi 10 1007 BF01320131Originalarbeiten Bearbeiten Sadao Nakajima On Quantum Theory of Transport Phenomena In Progress of Theoretical Physics Band 20 Nr 6 1958 S 948 959 Robert Zwanzig Ensemble Method in the Theory of Irreversibility In Journal of Chemical Physics Band 33 Nr 5 1960 S 1338 1341 Quellen BearbeitenOriginalartikelAnmerkungen und Einzelnachweise Bearbeiten Die Herleitung findet sich ahnlich wie hier z B in H P Breuer F Petruccione The theory of open quantum systems Oxford University Press 2002 S 443ff Dies kann man machen wenn man annimmt dass der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt 0 ist also der Projektor fur t 0 die Identitat ist Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nakajima Zwanzig Gleichung amp oldid 208287535