Vollkonjunktion Als auch Minterm oder Elementarkonjunktion bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunkt

Vollkonjunktion

Als Vollkonjunktion (auch Minterm oder Elementarkonjunktion) bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunktionsterm, d. h. eine Anzahl von Literalen (booleschen Variablen), die alle durch ein logisches und () verknüpft sind. Dabei müssen alle Variablen der betrachteten -stelligen booleschen Funktion im Konjunktionsterm vorkommen. Vollkonjunktionen lassen sich zu einer disjunktiven Normalform zusammensetzen, beispielsweise beim Verfahren nach Quine und McCluskey.

Beispiele Bearbeiten

Beispiele für 3-stellige boolesche Funktionen

Standardnummerierung der Vollkonjunktionen Bearbeiten

Vollkonjunktionen lassen sich auf natürliche Weise nummerieren. Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert, z. B. . Kommt für eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal negiert vor, so ersetzt man es durch eine 0, sonst durch eine 1. Es entsteht eine Binärzahl, die man dezimal interpretieren kann. Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms. Will man diesen Minterm über seinen Index bezeichnen, so schreibt man . Analog geht dies mit den Maxtermen bei Disjunktionen.

Vergleich Minterm / Maxterm Bearbeiten

In folgender Tabelle ist der Unterschied zwischen der Maxterm- und Mintermdarstellung ersichtlich:

Index
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Realisierung von Decoder-Schaltungen mit Mintermen / Maxtermen:

	Minterm	Maxterm
0	NOR-Gatter	AND-Gatter
1	OR-Gatter	NAND-Gatter

Bezeichnungen Bearbeiten

Minterme Bearbeiten

Ein einziger Minterm:
- Für genau eine Belegung Funktionswert 1
- Minimalität:
  - maximale Anzahl an Nullen
  - minimale Anzahl an Einsen

(abgesehen von trivialer Nullfunktion)

Maxterme Bearbeiten

Ein einziger Maxterm:
- Für genau eine Belegung Funktionswert 0
- Maximalität:
  - maximale Anzahl an Einsen
  - minimale Anzahl an Nullen

(abgesehen von trivialer Einsfunktion)

Bezug zum Karnaugh-Veitch-Diagramm Bearbeiten

Man spricht auch vom Minterm einer Funktion , wenn dieser impliziert, d. h. wenn gilt

Dabei ist der Vektor der Eingangsvariablen. Derartige Minterme entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines Karnaugh-Veitch-Diagramms, die für die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 09:15 am

Als Vollkonjunktion auch Minterm oder Elementarkonjunktion bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunktionsterm d h eine Anzahl von Literalen booleschen Variablen die alle durch ein logisches und displaystyle wedge verknupft sind Dabei mussen alle n displaystyle n Variablen der betrachteten n displaystyle n stelligen booleschen Funktion im Konjunktionsterm vorkommen Vollkonjunktionen lassen sich zu einer disjunktiven Normalform zusammensetzen beispielsweise beim Verfahren nach Quine und McCluskey Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Standardnummerierung der Vollkonjunktionen 3 Vergleich Minterm Maxterm 3 1 Bezeichnungen 3 1 1 Minterme 3 1 2 Maxterme 4 Bezug zum Karnaugh Veitch DiagrammBeispiele BearbeitenBeispiele fur 3 stellige boolesche Funktionen e 1 e 2 e 3 displaystyle e 1 wedge e 2 wedge e 3 nbsp e 1 e 2 e 3 displaystyle e 1 wedge neg e 2 wedge e 3 nbsp e 1 e 2 e 3 displaystyle neg e 1 wedge e 2 wedge neg e 3 nbsp Standardnummerierung der Vollkonjunktionen BearbeitenVollkonjunktionen lassen sich auf naturliche Weise nummerieren Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert z B X n X n 1 X 2 X 1 displaystyle X n X n 1 X 2 X 1 nbsp Kommt fur eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal X i displaystyle X i nbsp negiert vor so ersetzt man es durch eine 0 sonst durch eine 1 Es entsteht eine Binarzahl die man dezimal interpretieren kann Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms Will man diesen Minterm uber seinen Index i displaystyle i nbsp bezeichnen so schreibt man m i displaystyle m i nbsp Analog geht dies mit den Maxtermen M i displaystyle M i nbsp bei Disjunktionen Vergleich Minterm Maxterm BearbeitenIn folgender Tabelle ist der Unterschied zwischen der Maxterm und Mintermdarstellung ersichtlich Index x 2 displaystyle x 2 nbsp x 1 displaystyle x 1 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp Minterm Maxterm0 0 0 0 x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 wedge neg x 1 wedge neg x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 vee x 1 vee x 0 nbsp 1 0 0 1 x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 wedge neg x 1 wedge x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 vee x 1 vee neg x 0 nbsp 2 0 1 0 x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 wedge x 1 wedge neg x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 vee neg x 1 vee x 0 nbsp 3 0 1 1 x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 wedge x 1 wedge x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 vee neg x 1 vee neg x 0 nbsp 4 1 0 0 x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 wedge neg x 1 wedge neg x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 vee x 1 vee x 0 nbsp 5 1 0 1 x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 wedge neg x 1 wedge x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 vee x 1 vee neg x 0 nbsp 6 1 1 0 x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 wedge x 1 wedge neg x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 vee neg x 1 vee x 0 nbsp 7 1 1 1 x 2 x 1 x 0 displaystyle x 2 wedge x 1 wedge x 0 nbsp x 2 x 1 x 0 displaystyle neg x 2 vee neg x 1 vee neg x 0 nbsp Realisierung von Decoder Schaltungen mit Mintermen Maxtermen Minterm Maxterm0 NOR Gatter AND Gatter1 OR Gatter NAND GatterBezeichnungen Bearbeiten Minterme Bearbeiten Ein einziger Minterm Fur genau eine Belegung Funktionswert 1 Minimalitat maximale Anzahl an Nullen minimale Anzahl an Einsen abgesehen von trivialer Nullfunktion Maxterme Bearbeiten Ein einziger Maxterm Fur genau eine Belegung Funktionswert 0 Maximalitat maximale Anzahl an Einsen minimale Anzahl an Nullen abgesehen von trivialer Einsfunktion Bezug zum Karnaugh Veitch Diagramm BearbeitenMan spricht auch vom Minterm einer Funktion F displaystyle F nbsp wenn dieser F displaystyle F nbsp impliziert d h wenn gilt M X 1 F X 1 displaystyle M X 1 Rightarrow F X 1 nbsp Dabei ist X displaystyle X nbsp der Vektor der Eingangsvariablen Derartige Minterme M displaystyle M nbsp entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines Karnaugh Veitch Diagramms die fur die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vollkonjunktion amp oldid 193543244