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Merkwürdige Zahl In der Mathematik bezeichnet man eine natürliche Zahl n displaystyle n als merkwürdige Zahl wenn sie fo

Merkwürdige Zahl

In der Mathematik bezeichnet man eine natürliche Zahl als merkwürdige Zahl, wenn sie folgende beiden Eigenschaften erfüllt:

  • Sie ist eine abundante Zahl. Die Summe ihrer echten Teiler (aller Teiler außer der Zahl selbst) ist also größer als die Zahl selbst (für die Teilersummenfunktion gilt somit bzw. ).
  • Sie ist keine pseudovollkommene Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen.

Mit anderen Worten:

Die Summe ihrer echten Teiler (inklusive 1, aber ohne ) muss größer als die Zahl sein, es darf aber keine Teilmenge dieser Teiler als Summe die Zahl ergeben.

Beispiele Bearbeiten

Beispiel 1: Die Zahl 70 hat die echten Teiler 1, 2, 5, 7, 10, 14 und 35. Ihre echte Teilersumme ist also und die Zahl somit abundant. Man kann aber aus den Zahlen 1, 2, 5, 7, 10, 14 und 35 niemals eine Summe so bilden, dass die Zahl 70 herauskommt. Somit ist die Zahl 70 eine merkwürdige Zahl.

Beispiel 2: Die Zahl 72 hat die echten Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 und 36. Ihre echte Teilersumme ist also und die Zahl somit ebenfalls abundant. Man kann aber aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 und 36 durchaus eine Summe so bilden, dass die Zahl 72 herauskommt, nämlich (oder auch , und es gibt noch andere Möglichkeiten). Somit ist die Zahl 72 keine merkwürdige Zahl.

Beispiel 3: Die Zahl 74 hat die echten Teiler 1, 2 und 37. Ihre echte Teilersumme ist also und die Zahl somit defizient und nicht abundant. Also erfüllt 74 nicht einmal die erste Eigenschaft und ist folglich keine merkwürdige Zahl.

Die ersten merkwürdigen Zahlen sind die folgenden:

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gibt unendlich viele merkwürdige Zahlen.
  • Sidney Kravitz zeigte: Sei eine positive ganze Zahl, eine Primzahl mit und ebenfalls eine Primzahl mit . Dann gilt:
Mit dieser Formel hat er die große merkwürdige Zahl gefunden.
  • Sei eine merkwürdige Zahl und eine Primzahl mit , es sei also p größer als die Summe aller Teiler von (inklusive selbst). Dann gilt:
Es gibt nur 24 primitive merkwürdige Zahlen, die kleiner als eine Million sind (es gibt aber 1765 merkwürdige Zahlen, die kleiner als eine Million sind).

Ungelöste Probleme Bearbeiten

  • Gibt es ungerade merkwürdige Zahlen? Wenn ja, dann muss sie sein.
  • Gibt es unendlich viele primitive merkwürdige Zahlen? Es wurde von Giuseppe Melfi schon gezeigt, dass wenn Cramér's Vermutung (en) stimmt, dass daraus folgt, dass es unendlich viele primitive merkwürdige Zahlen gibt.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. József Sándor, Dragoslav Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory I. 2. Auflage. Springer-Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9, S. 113–114.
  2. Sidney Kravitz: A search for large weird numbers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 9, 1976, S. 82–85.
  3. S. J. Benkoski, Paul Erdős: On Weird and Pseudoperfect Numbers. In: Mathematics of Computation. Band 28, 1974, S. 617–623.
  4. Neil Sloane: Weird numbers: abundant but not pseudoperfect – Comments. Abgerufen am 24. Mai 2018.
  5. Odd Weird Search. rechenkraft.net, abgerufen am 25. Mai 2018.
  6. Giuseppe Melfi: On the conditional infiniteness of primitive weird numbers. In: Journal of Number Theory. Band 147, 2015, S. 508–514.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik bezeichnet man eine naturliche Zahl n displaystyle n als merkwurdige Zahl wenn sie folgende beiden Eigenschaften erfullt Sie ist eine abundante Zahl Die Summe ihrer echten Teiler aller Teiler ausser der Zahl n displaystyle n selbst ist also grosser als die Zahl n displaystyle n selbst fur die Teilersummenfunktion gilt somit s n gt 2 n displaystyle sigma n gt 2n bzw s n gt n displaystyle sigma n gt n Sie ist keine pseudovollkommene Zahl das heisst sie lasst sich nicht als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen Mit anderen Worten Die Summe ihrer echten Teiler inklusive 1 aber ohne n displaystyle n muss grosser als die Zahl n displaystyle n sein es darf aber keine Teilmenge dieser Teiler als Summe die Zahl n displaystyle n ergeben Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Ungeloste Probleme 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenBeispiel 1 Die Zahl 70 hat die echten Teiler 1 2 5 7 10 14 und 35 Ihre echte Teilersumme ist also 1 2 5 7 10 14 35 74 gt 70 displaystyle 1 2 5 7 10 14 35 74 gt 70 nbsp und die Zahl somit abundant Man kann aber aus den Zahlen 1 2 5 7 10 14 und 35 niemals eine Summe so bilden dass die Zahl 70 herauskommt Somit ist die Zahl 70 eine merkwurdige Zahl Beispiel 2 Die Zahl 72 hat die echten Teiler 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 und 36 Ihre echte Teilersumme ist also 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 123 gt 72 displaystyle 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 123 gt 72 nbsp und die Zahl somit ebenfalls abundant Man kann aber aus den Zahlen 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 und 36 durchaus eine Summe so bilden dass die Zahl 72 herauskommt namlich 12 24 36 72 displaystyle 12 24 36 72 nbsp oder auch 2 4 6 24 36 72 displaystyle 2 4 6 24 36 72 nbsp und es gibt noch andere Moglichkeiten Somit ist die Zahl 72 keine merkwurdige Zahl Beispiel 3 Die Zahl 74 hat die echten Teiler 1 2 und 37 Ihre echte Teilersumme ist also 1 2 37 40 lt 74 displaystyle 1 2 37 40 lt 74 nbsp und die Zahl somit defizient und nicht abundant Also erfullt 74 nicht einmal die erste Eigenschaft und ist folglich keine merkwurdige Zahl Die ersten merkwurdigen Zahlen sind die folgenden 70 836 4030 5830 7192 7912 9272 10430 10570 10792 10990 11410 11690 12110 12530 12670 13370 13510 13790 13930 14770 15610 15890 16030 16310 16730 16870 17272 17570 17990 18410 18830 18970 19390 19670 Folge A006037 in OEISEigenschaften BearbeitenEs gibt unendlich viele merkwurdige Zahlen 1 Sidney Kravitz zeigte Sei k N displaystyle k in mathbb N nbsp eine positive ganze Zahl Q P displaystyle Q in mathbb P nbsp eine Primzahl mit Q gt 2 k displaystyle Q gt 2 k nbsp und R 2 k Q Q 1 Q 1 2 k P displaystyle R frac 2 k Q Q 1 Q 1 2 k in mathbb P nbsp ebenfalls eine Primzahl mit R gt 2 k displaystyle R gt 2 k nbsp Dann gilt n 2 k 1 Q R displaystyle n 2 k 1 QR nbsp ist eine merkwurdige Zahl 2 dd Mit dieser Formel hat er die grosse merkwurdige Zahl n 2 56 2 61 1 153722867280912929 2 10 52 displaystyle n 2 56 cdot 2 61 1 cdot 153722867280912929 approx 2 cdot 10 52 nbsp gefunden Sei n displaystyle n nbsp eine merkwurdige Zahl und p P displaystyle p in mathbb P nbsp eine Primzahl mit p gt s n displaystyle p gt sigma n nbsp es sei also p grosser als die Summe aller Teiler von n displaystyle n nbsp inklusive n displaystyle n nbsp selbst Dann gilt p n displaystyle p cdot n nbsp ist eine merkwurdige Zahl 3 dd Beispiel 1 Sei n 70 displaystyle n 70 nbsp eine merkwurdige Zahl mit s n 1 2 5 7 10 14 35 70 144 displaystyle sigma n 1 2 5 7 10 14 35 70 144 nbsp und p 151 gt s n 144 displaystyle p 151 gt sigma n 144 nbsp Dann ist p n 70 151 10570 displaystyle p cdot n 70 cdot 151 10570 nbsp tatsachlich eine merkwurdige Zahl dd Beispiel 2 Sei n 836 displaystyle n 836 nbsp eine merkwurdige Zahl mit s n 1 2 4 11 19 22 38 44 76 209 418 836 1680 displaystyle sigma n 1 2 4 11 19 22 38 44 76 209 418 836 1680 nbsp und p 1693 gt s n 1680 displaystyle p 1693 gt sigma n 1680 nbsp Dann ist p n 836 1693 1415348 displaystyle p cdot n 836 cdot 1693 1415348 nbsp tatsachlich eine merkwurdige Zahl dd Daraus ergibt sich folgende Definition Eine Zahl n displaystyle n nbsp heisst primitive merkwurdige Zahl wenn sie kein Vielfaches einer anderen merkwurdigen Zahl ist Die ersten primitiven merkwurdigen Zahlen sind die folgenden 70 836 4030 5830 7192 7912 9272 10792 17272 45356 73616 83312 91388 113072 243892 254012 338572 343876 388076 519712 539744 555616 682592 786208 1188256 1229152 1713592 1901728 2081824 2189024 3963968 4128448 Folge A002975 in OEIS dd Es gibt nur 24 primitive merkwurdige Zahlen die kleiner als eine Million sind es gibt aber 1765 merkwurdige Zahlen die kleiner als eine Million sind Ungeloste Probleme BearbeitenGibt es ungerade merkwurdige Zahlen Wenn ja dann muss sie gt 10 21 displaystyle gt 10 21 nbsp sein 4 5 Gibt es unendlich viele primitive merkwurdige Zahlen Es wurde von Giuseppe Melfi schon gezeigt dass wenn Cramer s Vermutung en stimmt dass daraus folgt dass es unendlich viele primitive merkwurdige Zahlen gibt 6 Literatur BearbeitenJozsef Sandor Dragoslav Mitrinovic Borislav Crstici Handbook of Number Theory I 2 Auflage Springer Verlag Dordrecht 2006 ISBN 1 4020 4215 9 S 113 114 S J Benkoski Paul Erdos On Weird and Pseudoperfect Numbers In Mathematics of Computation Band 28 1974 S 617 623 Weblinks BearbeitenJozsef Sandor Dragoslav Mitrinovic Borislav Crstici Handbook of Number Theory I PDF Springer Verlag S 113 114 abgerufen am 21 Mai 2018 englisch S J Benkoski Paul Erdos On Weird and Pseudoperfect Numbers PDF Mathematics of Computation S 617 623 abgerufen am 24 Mai 2018 englisch Eric W Weisstein Weird Number In MathWorld englisch Weird Number In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Jozsef Sandor Dragoslav Mitrinovic Borislav Crstici Handbook of Number Theory I 2 Auflage Springer Verlag Dordrecht 2006 ISBN 1 4020 4215 9 S 113 114 Sidney Kravitz A search for large weird numbers In Journal of Recreational Mathematics Band 9 1976 S 82 85 S J Benkoski Paul Erdos On Weird and Pseudoperfect Numbers In Mathematics of Computation Band 28 1974 S 617 623 Neil Sloane Weird numbers abundant but not pseudoperfect Comments Abgerufen am 24 Mai 2018 Odd Weird Search rechenkraft net abgerufen am 25 Mai 2018 Giuseppe Melfi On the conditional infiniteness of primitive weird numbers In Journal of Number Theory Band 147 2015 S 508 514 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Merkwurdige Zahl amp oldid 233600861