In der Zahlentheorie ist eine Leylandsche Zahl eine positive ganze Zahl n N displaystyle n in mathbb N 1 der Form n x y y x displaystyle n x y y x mit x N displaystyle x in mathbb N und y N displaystyle y in mathbb N und x gt 1 displaystyle x gt 1 y gt 1 displaystyle y gt 1 Wurde man auf die Bedingung x gt 1 displaystyle x gt 1 und y gt 1 displaystyle y gt 1 verzichten konnte man jede naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N in der Form n n 1 1 1 n 1 displaystyle n n 1 1 1 n 1 darstellen womit jede Zahl eine Leylandsche Zahl ware Mitunter verlangt man noch die zusatzliche Bedingung x y gt 1 displaystyle x geq y gt 1 damit man eine eindeutige Darstellung der Leylandschen Zahlen erhalt sonst hatte man mit 17 3 2 2 3 2 3 3 2 displaystyle 17 3 2 2 3 2 3 3 2 zwei leicht unterschiedliche Darstellungen Eine prime Leylandsche Zahl nennt man Leylandsche Primzahl Die Leylandschen Zahlen wurden nach dem Mathematiker Paul Leyland benannt Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 1 1 Anwendung 2 Leylandsche Zahlen der 2 Art 2 1 Beispiele 2 2 Eigenschaften 3 Sonstiges 4 Einzelnachweise 5 WeblinksBeispiele BearbeitenDie ersten Leylandschen Zahlen sind die folgenden 8 17 32 54 57 100 145 177 320 368 512 593 945 1124 1649 2169 2530 4240 5392 6250 7073 8361 16580 18785 20412 23401 32993 60049 65792 69632 93312 94932 131361 178478 262468 268705 397585 423393 524649 533169 Folge A076980 in OEIS dd In der obigen OEIS Folge A076980 wird auch noch die Zahl 3 displaystyle 3 nbsp angegeben welche die Darstellung 3 2 1 1 2 displaystyle 3 2 1 1 2 nbsp hat Nur ist wegen y 1 1 displaystyle y 1 not gt 1 nbsp diese Zahl keine Leylandsche Zahl Die ersten Leylandschen Zahlen haben die folgende Darstellung 8 2 2 2 2 displaystyle 8 2 2 2 2 nbsp 17 3 2 2 3 displaystyle 17 3 2 2 3 nbsp 32 4 2 2 4 displaystyle 32 4 2 2 4 nbsp 54 3 3 3 3 displaystyle 54 3 3 3 3 nbsp 57 5 2 2 5 displaystyle 57 5 2 2 5 nbsp 100 6 2 2 6 displaystyle 100 6 2 2 6 nbsp 145 4 3 3 4 displaystyle 145 4 3 3 4 nbsp 177 7 2 2 7 displaystyle 177 7 2 2 7 nbsp dd Die ersten Leylandschen Primzahlen sind die folgenden die Primzahl 3 displaystyle 3 nbsp gehort wieder nicht dazu 17 593 32993 2097593 8589935681 59604644783353249 523347633027360537213687137 43143988327398957279342419750374600193 4318114567396436564035293097707729426477458833 5052785737795758503064406447721934417290878968063369478337 Folge A094133 in OEIS dd Dabei haben die ersten Leylandschen Primzahlen die folgende Darstellung 2 17 3 2 2 3 displaystyle 17 3 2 2 3 nbsp 593 9 2 2 9 displaystyle 593 9 2 2 9 nbsp 32993 15 2 2 15 displaystyle 32993 15 2 2 15 nbsp 2097593 21 2 2 21 displaystyle 2097593 21 2 2 21 nbsp 8589935681 33 2 2 33 displaystyle 8589935681 33 2 2 33 nbsp 59604644783353249 24 5 5 24 displaystyle 59604644783353249 24 5 5 24 nbsp 523347633027360537213687137 56 3 3 56 displaystyle 523347633027360537213687137 56 3 3 56 nbsp 43143988327398957279342419750374600193 32 15 15 32 displaystyle 43143988327398957279342419750374600193 32 15 15 32 nbsp dd Wenn man die zweite Basis y 2 displaystyle y 2 nbsp fix lasst erhalt man fur die erste Basis x displaystyle x nbsp genau dann eine Leylandsche Primzahl wenn x displaystyle x nbsp eine der folgenden Zahlen ist 3 9 15 21 33 2007 2127 3759 29355 34653 57285 99069 Folge A064539 in OEIS dd Diese Primzahlen haben somit alle die Form p x 2 2 x displaystyle p x 2 2 x nbsp Wieder gehort die Primzahl 3 1 2 2 1 displaystyle 3 1 2 2 1 nbsp eigentlich nicht dazu weil sie wegen x 1 1 displaystyle x 1 not gt 1 nbsp keine Leylandsche Primzahl ist Die bis zum November 2012 grosste bekannte Leylandsche Primzahl war 6753 5122 5122 6753 displaystyle 6753 5122 5122 6753 nbsp Sie wurde am 15 Oktober 2010 als Primzahl mit dem Programm fastECPP erkannt Als mogliche Primzahl probable prime PRP war sie schon langer bekannt Sie hat 25050 displaystyle 25050 nbsp Stellen 3 4 Sie war bei ihrer Entdeckung die bis dahin grosste Primzahl die mit elliptischen Kurven gefunden wurde daher der Name des Programms Elliptic Curve Primality Proving ECPP Am 11 Dezember 2012 wurde die momentan Stand 15 Juni 2018 grosste bekannte Leylandsche Primzahl entdeckt namlich 8656 2929 2929 8656 displaystyle 8656 2929 2929 8656 nbsp Sie hat 30008 displaystyle 30008 nbsp Stellen Als mogliche Primzahl PRP wurde sie von Anatoly F Selevich entdeckt als Primzahl erkannt wurde sie mit dem Programm CIDE von J Franke T Kleinjung A Decker J Ecknig und A Grosswendt 5 6 Es gibt noch mindestens 2495 grossere mogliche Primzahlen mit mehr als 10000 Stellen welche Leyland Primzahlen sein konnten Die momentan grosste ist 1343238 19 19 1343238 displaystyle 1343238 19 19 1343238 nbsp mit 1717671 displaystyle 1717671 nbsp Stellen die von Ryan Propper im Mai 2023 entdeckt wurde Stand 21 Juni 2023 7 Als mogliche Primzahl PRP wurde sie schon erkannt man muss aber noch beweisen dass sie tatsachlich eine Primzahl ist Anwendung Bearbeiten Leylandsche Primzahlen haben keine geeignete Form mittels der man mit einfachen bekannten Algorithmen feststellen kann ob sie prim sind oder nicht Wie schon weiter oben erwahnt ist es relativ leicht festzustellen dass sie mogliche Primzahlen sind PRP aber die Primalitat definitiv zu beweisen ist sehr schwierig Deswegen sind Leylandsche Primzahlen ideale Testfalle fur allgemeine Primalitatsnachweise Zum Beispiel gibt es zum Prufen von Fermat Zahlen mit der Form 2 2 n 1 displaystyle 2 2 n 1 nbsp den Lucas Test und den Pepin Test welche genau solche Zahlen besonders schnell auf ihre Primalitat testen konnen Bei Leylandschen Primzahlen gibt es keine solchen speziell auf sie zugeschneiderten Tests Leylandsche Zahlen der 2 Art BearbeitenIn der Zahlentheorie ist eine Leylandsche Zahl der 2 Art eine positive ganze Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp der Form n x y y x displaystyle n x y y x nbsp mit x N displaystyle x in mathbb N nbsp und y N displaystyle y in mathbb N nbsp und x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp y gt 1 displaystyle y gt 1 nbsp Eine prime Leylandsche Zahl der 2 Art nennt man Leylandsche Primzahl der 2 Art Beispiele Bearbeiten Die ersten Leylandschen Zahlen der 2 Art sind die folgenden 0 1 7 17 28 79 118 192 399 431 513 924 1844 1927 2800 3952 6049 7849 8023 13983 16188 18954 32543 58049 61318 61440 65280 130783 162287 175816 255583 261820 357857 523927 529713 1038576 1048176 Folge A045575 in OEIS dd Die ersten Leylandschen Zahlen der 2 Art haben die folgende Darstellung 0 2 2 2 2 displaystyle 0 2 2 2 2 nbsp 1 3 2 2 3 displaystyle 1 3 2 2 3 nbsp 7 2 5 5 2 displaystyle 7 2 5 5 2 nbsp 17 3 4 4 3 displaystyle 17 3 4 4 3 nbsp 28 2 6 6 2 displaystyle 28 2 6 6 2 nbsp 79 2 7 7 2 displaystyle 79 2 7 7 2 nbsp 118 3 5 5 3 displaystyle 118 3 5 5 3 nbsp 192 2 8 8 2 displaystyle 192 2 8 8 2 nbsp 399 4 5 5 4 displaystyle 399 4 5 5 4 nbsp dd Die ersten Leylandschen Primzahlen der 2 Art sind die folgenden 7 17 79 431 58049 130783 162287 523927 2486784401 6102977801 8375575711 13055867207 83695120256591 375700268413577 2251799813682647 9007199254738183 79792265017612001 1490116119372884249 Folge A123206 in OEIS dd Die ersten Leylandschen Primzahlen der 2 Art haben die folgende Darstellung 7 2 5 5 2 displaystyle 7 2 5 5 2 nbsp 17 3 4 4 3 displaystyle 17 3 4 4 3 nbsp 79 2 7 7 2 displaystyle 79 2 7 7 2 nbsp 431 2 9 9 2 displaystyle 431 2 9 9 2 nbsp 58049 3 10 10 3 displaystyle 58049 3 10 10 3 nbsp 130783 2 17 17 2 displaystyle 130783 2 17 17 2 nbsp 162287 6 7 7 6 displaystyle 162287 6 7 7 6 nbsp 523927 2 19 19 2 displaystyle 523927 2 19 19 2 nbsp dd Die kleinsten Leylandschen Primzahlen der 2 Art also der Form x y y x displaystyle x y y x nbsp mit wachsendem x 1 2 displaystyle x 1 2 ldots nbsp sind die folgenden dabei ist der Wert 1 displaystyle 1 nbsp falls es keine solche Primzahl gibt 1 7 17 1 6102977801 162287 79792265017612001 8375575711 2486784401 Folge A122735 in OEIS dd Die dazugehorenden y displaystyle y nbsp Werte sind die folgenden0 5 4 0 14 7 20 11 10 273 14 13 38 89 68 0 Folge A128355 in OEIS dd Beispiele An der jeweils funften Stelle der beiden oberen Zahlenfolgen steht 6102977801 displaystyle 6102977801 nbsp bzw 14 displaystyle 14 nbsp das heisst 6102977801 5 14 14 5 displaystyle 6102977801 5 14 14 5 nbsp An der vierten Stelle steht 1 displaystyle 1 nbsp bzw 0 displaystyle 0 nbsp das heisst es gibt keine Leylandsche Primzahl der Form 4 y y 4 displaystyle 4 y y 4 nbsp weil 4 1 1 4 3 displaystyle 4 1 1 4 3 nbsp per Definition keine Leylandsche Primzahl ist Ungelostes Problem Ab der 17 Stelle der y displaystyle y nbsp Werte der OEIS Folge A128355 kennt man gewisse y displaystyle y nbsp Werte noch nicht An folgenden Stellen sind die y displaystyle y nbsp Werte noch unbekannt 17 18 22 25 26 27 28 Beispiel Es ist noch unbekannt ob es Primzahlen der Form x 17 17 x displaystyle x 17 17 x nbsp oder der Form x 26 26 x displaystyle x 26 26 x nbsp etc gibt dd dd Es gibt mindestens 1679 mogliche Primzahlen mit mehr als 10000 Stellen welche Leyland Primzahlen der 2 Art sein konnten die also derzeit einen PRP Status haben Die momentan grosste ist 2 954127 954127 2 displaystyle 2 954127 954127 2 nbsp mit 287221 displaystyle 287221 nbsp Stellen die von Henri Lifchitz im Januar 2021 entdeckt wurde 8 Als mogliche Primzahl PRP wurde sie schon erkannt man muss aber noch beweisen dass sie tatsachlich eine Primzahl ist Eigenschaften Bearbeiten Sei N x displaystyle N x nbsp die Anzahl der Leylandschen Zahlen der 2 Art kleiner oder gleich x displaystyle x nbsp Dann gilt 9 10 N x log x 2 2 log log x 2 displaystyle N x approx frac log x 2 2 cdot log log x 2 nbsp dd Sonstiges BearbeitenEs gibt ein Projekt mit dem Namen XYYXF das sich mit der Faktorisierung von moglicherweise zusammengesetzten Leylandschen Zahlen beschaftigt 7 Dasselbe Projekt beschaftigt sich auch mit Faktorisierung von moglicherweise zusammengesetzten Leylandschen Zahlen der 2 Art 8 Einzelnachweise Bearbeiten Siehe dazu Element Mathematik Paul Leyland Primes and Strong Pseudoprimes of the form xy yx Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 10 Februar 2007 abgerufen am 14 Juni 2018 Chris K Caldwell The Largest Known Primes 6753 5122 5122 6753 Prime Pages abgerufen am 14 Juni 2018 Chris K Caldwell The Top Twenty Elliptic Curve Primality Proof Prime Pages abgerufen am 14 Juni 2018 Mihailescu s CIDE mersenneforum org abgerufen am 14 Juni 2018 Andrey Kulsha Factorizations of xy yx for 1 lt y lt x lt 151 mersenneforum org abgerufen am 14 Juni 2018 a b Henri Lifchitz Renaud Lifchitz PRP Top Records Search for xy yx PRP Records abgerufen am 21 Juni 2023 a b Henri Lifchitz Renaud Lifchitz PRP Top Records Search for xy yx PRP Records abgerufen am 19 September 2022 Neil J A Sloane Comments zu Nonnegative numbers of the form x y y x for x y gt 1 OEIS abgerufen am 15 Juni 2018 Michael Waldschmidt Perfect Powers Pillai s works and their developments OEIS abgerufen am 15 Juni 2018 Weblinks BearbeitenLeyland number In PlanetMath englisch Leyland Numbers Numberphile auf YouTube Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Leylandsche Zahl amp oldid 236311074
