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Linear independence constraint qualification Die oder kurz LICQ ist eine wichtige Voraussetzung dass notwendige Optimali

Linear independence constraint qualification

Die Linear independence constraint qualification oder kurz LICQ ist eine wichtige Voraussetzung, dass notwendige Optimalitätskriterien in der nichtlinearen Optimierung gelten. Sie ist eine Bedingung an die Regularität eines zulässigen Punktes. Ist die LICQ in einem Punkt erfüllt und ist dieser Punkt ein lokales Minimum, so sind auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen an diesem Punkt erfüllt.

Definition Bearbeiten

Gegeben ist ein Optimierungsproblem in der Form

wobei

die Restriktionsmenge ist und alle Funktionen stetig differenzierbar sein sollen. Es sei die Menge der Indizes, bei denen die Ungleichungsrestriktionen mit Gleichheit erfüllt sind, d. h. die Ungleichungsrestriktion ist aktiv. Dann erfüllt ein zulässiger Punkt des restringierten Optimierungsproblems die LICQ, wenn die Gradienten und mit linear unabhängig sind.

Beispiel Bearbeiten

LICQ Bearbeiten

Betrachten wir als Beispiel die Restriktionsfunktionen und . Wir untersuchen, ob der Punkt die LICQ erfüllt. Es ist , da beide Ungleichungen in aktiv sind. Die Gradienten sind und . Beide Ungleichungsrestriktionen sind im untersuchten Punkt aktiv und die Gradienten sind linear unabhängig. Daher erfüllt der Punkt die LICQ.

MFCQ ohne LICQ Bearbeiten

Betrachtet man die Restriktionsfunktionen und und untersucht diese im Punkt , so ist die LICQ nicht erfüllt. Die Gradienten und sind linear abhängig und beide Ungleichungen sind im untersuchten Punkt aktiv. Die MFCQ sind aber erfüllt, da für den Vektor gilt, dass .

Vergleich mit anderen constraint qualifications Bearbeiten

Gilt die LICQ, so ist auch die MFCQ und daher die Abadie CQ automatisch erfüllt. Die LICQ hat im Gegensatz zur MFCQ und zur Abadie CQ den Vorteil, dass sie leicht zu überprüfen ist. Ein Nachteil ist, dass sie nicht so allgemein gültig ist wie die anderen constraint qualifications. Dies wird durch das obige Beispiel illustriert. Es gelten die Implikationen

Die Umkehrungen gelten aber nicht.

Literatur Bearbeiten

  • C. Geiger, C. Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer, 2002. ISBN 3-540-42790-2. https://books.google.de/books?id=spmzFyso_b8C&hl=de
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Die Linear independence constraint qualification oder kurz LICQ ist eine wichtige Voraussetzung dass notwendige Optimalitatskriterien in der nichtlinearen Optimierung gelten Sie ist eine Bedingung an die Regularitat eines zulassigen Punktes Ist die LICQ in einem Punkt x displaystyle tilde x erfullt und ist dieser Punkt ein lokales Minimum so sind auch die Karush Kuhn Tucker Bedingungen an diesem Punkt erfullt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 2 1 LICQ 2 2 MFCQ ohne LICQ 3 Vergleich mit anderen constraint qualifications 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben ist ein Optimierungsproblem in der Form min x X f x displaystyle min x in X f x nbsp wobei X x R n g i x 0 h j x 0 i 1 k j 1 l displaystyle X x in mathbb R n g i x leq 0 h j x 0 i 1 dots k j 1 dots l nbsp die Restriktionsmenge ist und alle Funktionen stetig differenzierbar sein sollen Es sei K x i g i x 0 displaystyle K x i g i x 0 nbsp die Menge der Indizes bei denen die Ungleichungsrestriktionen mit Gleichheit erfullt sind d h die Ungleichungsrestriktion g i x displaystyle g i x nbsp ist aktiv Dann erfullt ein zulassiger Punkt x X displaystyle tilde x in X nbsp des restringierten Optimierungsproblems die LICQ wenn die Gradienten h j x displaystyle nabla h j tilde x nbsp und g i x displaystyle nabla g i tilde x nbsp mit i K x displaystyle i in K tilde x nbsp linear unabhangig sind Beispiel BearbeitenLICQ Bearbeiten Betrachten wir als Beispiel die Restriktionsfunktionen g 1 x x 1 x 2 1 0 displaystyle g 1 x x 1 x 2 1 leq 0 nbsp und g 2 x x 1 2 x 2 2 1 0 displaystyle g 2 x x 1 2 x 2 2 1 leq 0 nbsp Wir untersuchen ob der Punkt x 0 1 displaystyle tilde x 0 1 nbsp die LICQ erfullt Es ist K x 1 2 displaystyle K tilde x 1 2 nbsp da beide Ungleichungen in x displaystyle tilde x nbsp aktiv sind Die Gradienten sind g 1 x 1 1 T displaystyle nabla g 1 tilde x 1 1 T nbsp und g 2 x 0 2 T displaystyle nabla g 2 tilde x 0 2 T nbsp Beide Ungleichungsrestriktionen sind im untersuchten Punkt aktiv und die Gradienten sind linear unabhangig Daher erfullt der Punkt die LICQ MFCQ ohne LICQ Bearbeiten Betrachtet man die Restriktionsfunktionen g 1 x x 2 0 displaystyle g 1 x x 2 leq 0 nbsp und g 2 x x 1 4 x 2 0 displaystyle g 2 x x 1 4 x 2 leq 0 nbsp und untersucht diese im Punkt x 0 0 displaystyle tilde x 0 0 nbsp so ist die LICQ nicht erfullt Die Gradienten g 1 x 0 1 T displaystyle nabla g 1 tilde x 0 1 T nbsp und g 2 x 0 1 T displaystyle nabla g 2 tilde x 0 1 T nbsp sind linear abhangig und beide Ungleichungen sind im untersuchten Punkt aktiv Die MFCQ sind aber erfullt da fur den Vektor d 0 1 displaystyle d 0 1 nbsp gilt dass g i x T d lt 0 displaystyle nabla g i tilde x T d lt 0 nbsp Vergleich mit anderen constraint qualifications BearbeitenGilt die LICQ so ist auch die MFCQ und daher die Abadie CQ automatisch erfullt Die LICQ hat im Gegensatz zur MFCQ und zur Abadie CQ den Vorteil dass sie leicht zu uberprufen ist Ein Nachteil ist dass sie nicht so allgemein gultig ist wie die anderen constraint qualifications Dies wird durch das obige Beispiel illustriert Es gelten die Implikationen LICQ MFCQ Abadie CQ displaystyle text LICQ implies text MFCQ implies text Abadie CQ nbsp Die Umkehrungen gelten aber nicht Literatur BearbeitenC Geiger C Kanzow Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben Springer 2002 ISBN 3 540 42790 2 https books google de books id spmzFyso b8C amp hl de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Linear independence constraint qualification amp oldid 218163251