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Konsistente Testfolge Eine konsistente Testfolge bezeichnet in der Testtheorie einem Teilgebiet der mathematischen Stati

Konsistente Testfolge

Eine konsistente Testfolge bezeichnet in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Folge von statistischen Tests, die sich dadurch auszeichnet, dass die Trennschärfe der Folge bei größer werdender Stichprobe gegen 1 konvergiert. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art verschwindet also bei größer werdenden Datenmengen. Dabei liegt der Folge von Tests meist dieselbe Idee zugrunde, die Konstruktion als Folge von Tests formalisiert lediglich die immer größer werdende Stichprobe.

Teils findet sich auch die Bezeichnung als konsistente Folge von Tests oder einfach als konsistenter Test, wobei letztere fachlich nicht korrekt ist.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen sowie eine disjunkte Zerlegung von in Nullhypothese und Alternative .

Seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen gemäß einer Verteilung aus . Ist eine Folge von statistischen Tests

so heißt sie eine konsistente Testfolge, wenn

  1. Alle Tests dasselbe Niveau haben, also dieselbe Schranke für einen Fehler 1. Art besitzen. Mit der Gütefunktion gilt folglich
  2. Die Trennschärfe der Folge von Tests konvergiert gegen 1. Es gilt also

Bemerkung Bearbeiten

Die Konsistenz einer Testfolge ist ein rein asymptotisches Qualitätsmerkmal. Es kann somit aus der Konsistenz weder darauf geschlossen werden, wie schnell die Trennschärfe konvergiert, noch darauf, ab welcher Stichprobengröße sich (beispielsweise monotones) Konvergenzverhalten zeigt. Letzterer Effekt beruht darauf, dass die Konvergenz einer Folge unabhängig von den ersten, endlich vielen Folgegliedern ist.

Selbst bei einer unendlich großen Stichprobe liefert eine konsistente Testfolge nicht immer eine perfekte Entscheidung, die Nullhypothese und Alternative fehlerfrei auseinanderhält. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art verschwindet zwar, aber ein Fehler 1. Art ist prinzipiell noch möglich.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine konsistente Testfolge bezeichnet in der Testtheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik eine Folge von statistischen Tests die sich dadurch auszeichnet dass die Trennscharfe der Folge bei grosser werdender Stichprobe gegen 1 konvergiert Die Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler 2 Art verschwindet also bei grosser werdenden Datenmengen Dabei liegt der Folge von Tests meist dieselbe Idee zugrunde die Konstruktion als Folge von Tests formalisiert lediglich die immer grosser werdende Stichprobe Teils findet sich auch die Bezeichnung als konsistente Folge von Tests oder einfach als konsistenter Test wobei letztere fachlich nicht korrekt ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkung 3 Weblinks 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmassen P ϑ ϑ 8 displaystyle P vartheta vartheta in Theta nbsp sowie eine disjunkte Zerlegung von 8 displaystyle Theta nbsp in Nullhypothese 8 0 displaystyle Theta 0 nbsp und Alternative 8 1 displaystyle Theta 1 nbsp Seien X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp unabhangig und identisch verteilte Zufallsvariablen gemass einer Verteilung aus P ϑ ϑ 8 displaystyle P vartheta vartheta in Theta nbsp Ist F n n N displaystyle Phi n n in mathbb N nbsp eine Folge von statistischen Tests F n X 1 X n 0 1 displaystyle Phi n colon X 1 dots X n to 0 1 nbsp so heisst sie eine konsistente Testfolge wenn Alle Tests dasselbe Niveau a displaystyle alpha nbsp haben also dieselbe Schranke fur einen Fehler 1 Art besitzen Mit der Gutefunktion G F n displaystyle G Phi n nbsp gilt folglich sup ϑ 8 0 G F n ϑ a f u r a l l e n displaystyle sup vartheta in Theta 0 G Phi n vartheta leq alpha quad mathrm f ddot u r alle n nbsp Die Trennscharfe der Folge von Tests konvergiert gegen 1 Es gilt also lim n G F n ϑ 1 f u r a l l e ϑ 8 1 displaystyle lim n to infty G Phi n vartheta 1 quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta 1 nbsp Bemerkung BearbeitenDie Konsistenz einer Testfolge ist ein rein asymptotisches Qualitatsmerkmal Es kann somit aus der Konsistenz weder darauf geschlossen werden wie schnell die Trennscharfe konvergiert noch darauf ab welcher Stichprobengrosse sich beispielsweise monotones Konvergenzverhalten zeigt Letzterer Effekt beruht darauf dass die Konvergenz einer Folge unabhangig von den ersten endlich vielen Folgegliedern ist Selbst bei einer unendlich grossen Stichprobe liefert eine konsistente Testfolge nicht immer eine perfekte Entscheidung die Nullhypothese und Alternative fehlerfrei auseinanderhalt Die Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler zweiter Art verschwindet zwar aber ein Fehler 1 Art ist prinzipiell noch moglich Weblinks BearbeitenM S Nikulin Consistent test In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konsistente Testfolge amp oldid 182240764