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Ideales Simplex Das ideale Simplex ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt ein Simplex mit Ecken im Unendlichen

Ideales Simplex

Das ideale Simplex ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt ein Simplex mit „Ecken im Unendlichen“.

Ideale Simplizes in der hyperbolischen Geometrie Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Es bezeichne den -dimensionalen hyperbolischen Raum und seinen Geodätischen Rand.

Ein ideales Simplex ist ein geodätisches Simplex in , dessen Ecken in liegen.

Man kann zeigen, dass es zu jedem Tupel ein ideales -Simplex mit Ecken gibt.

Dimension 2 Bearbeiten

Alle idealen Dreiecke in der hyperbolischen Ebene (oder in einem höher-dimensionalen hyperbolischen Raum) sind isometrisch. Das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Ebene -fach transitiv auf wirkt.

Dimension 3 Bearbeiten

Nicht-entartete ideale Tetraeder im 3-dimensionalen hyperbolischen Raum werden bis auf Isometrie durch das Doppelverhältnis ihrer Ecken klassifiziert. Auch das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes -fach transitiv auf wirkt.

Reguläre Simplizes Bearbeiten

Ein ideales Simplex mit Ecken heißt regulär, wenn es zu jeder Permutation der Ecken eine Isometrie mit gibt.

Volumen Bearbeiten

Die idealen -Simplizes maximalen Volumens sind genau die regulären idealen Simplizes. Insbesondere gibt es eine obere Schranke für das Volumen idealer Simplizes im hyperbolischen Raum.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Allgemeiner kann man ideale Simplizes in einfach zusammenhängenden Räumen nichtpositiver Schnittkrümmung ebenfalls als geodätische Simplizes mit Ecken im Rand im Unendlichen definieren.

In einfach zusammenhängenden Räumen negativer Schnittkrümmung gibt es zu jedem Tupel von Punkten im Rand im Unendlichen wieder ein ideales Simplex mit diesen Ecken. Bei lediglich nichtpositiver Schnittkrümmung muss das im Allgemeinen nicht der Fall sein.

Literatur Bearbeiten

  • Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Berlin etc.: Springer-Verlag. (1992)
  • Ratcliffe, John G.: Foundations of hyperbolic manifolds. 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics 149. New York, NY: Springer (ISBN 0-387-33197-2) (2006).
  • Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor: Manifolds of nonpositive curvature. Progress in Mathematics, 61. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. (1985)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Haagerup, Uffe; Munkholm, Hans J.: Simplices of maximal volume in hyperbolic n-space. (English) Acta Math. 147, 1-11 (1981).
  2. Peyerimhoff, Norbert: Simplices of maximal volume or minimal total edge length in hyperbolic space. J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 66, No. 3, 753-768 (2002).
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Veröffentlichungsdatum:
Das ideale Simplex ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt ein Simplex mit Ecken im Unendlichen Inhaltsverzeichnis 1 Ideale Simplizes in der hyperbolischen Geometrie 1 1 Definition 1 2 Dimension 2 1 3 Dimension 3 1 4 Regulare Simplizes 1 5 Volumen 2 Verallgemeinerungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseIdeale Simplizes in der hyperbolischen Geometrie BearbeitenDefinition Bearbeiten Es bezeichne H n displaystyle H n nbsp den n displaystyle n nbsp dimensionalen hyperbolischen Raum und H n displaystyle partial infty H n nbsp seinen Geodatischen Rand Ein ideales Simplex ist ein geodatisches Simplex in H n H n H n displaystyle overline H n H n cup partial infty H n nbsp dessen Ecken in H n displaystyle partial infty H n nbsp liegen Man kann zeigen dass es zu jedem Tupel v 0 v k H n k 1 displaystyle v 0 ldots v k in partial infty H n k 1 nbsp ein ideales k displaystyle k nbsp Simplex mit Ecken v 0 v k displaystyle v 0 ldots v k nbsp gibt Dimension 2 Bearbeiten Hauptartikel Ideales Dreieck Alle idealen Dreiecke in der hyperbolischen Ebene oder in einem hoher dimensionalen hyperbolischen Raum sind isometrisch Das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache dass die Gruppe P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp der orientierungserhaltenden Isometrien der hyperbolischen Ebene 3 displaystyle 3 nbsp fach transitiv auf H 2 R P 1 displaystyle partial infty H 2 mathbb R P 1 nbsp wirkt Dimension 3 Bearbeiten Nicht entartete ideale Tetraeder im 3 dimensionalen hyperbolischen Raum werden bis auf Isometrie durch das Doppelverhaltnis ihrer 4 displaystyle 4 nbsp Ecken klassifiziert Auch das ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache dass die Gruppe P S L 2 C displaystyle PSL 2 mathbb C nbsp der orientierungserhaltenden Isometrien des hyperbolischen Raumes 3 displaystyle 3 nbsp fach transitiv auf H 3 C P 1 displaystyle partial infty H 3 mathbb C P 1 nbsp wirkt Regulare Simplizes Bearbeiten Ein ideales Simplex mit Ecken v 0 v k H n k 1 displaystyle v 0 ldots v k in partial infty H n k 1 nbsp heisst regular wenn es zu jeder Permutation p displaystyle pi nbsp der Ecken eine Isometrie g H n H n displaystyle g colon H n to H n nbsp mit g v i p v i displaystyle g v i pi v i nbsp gibt Volumen Bearbeiten Die idealen n displaystyle n nbsp Simplizes maximalen Volumens sind genau die regularen idealen Simplizes 1 2 Insbesondere gibt es eine obere Schranke fur das Volumen idealer Simplizes im hyperbolischen Raum Verallgemeinerungen BearbeitenAllgemeiner kann man ideale Simplizes in einfach zusammenhangenden Raumen nichtpositiver Schnittkrummung ebenfalls als geodatische Simplizes mit Ecken im Rand im Unendlichen definieren In einfach zusammenhangenden Raumen negativer Schnittkrummung gibt es zu jedem Tupel von Punkten im Rand im Unendlichen wieder ein ideales Simplex mit diesen Ecken Bei lediglich nichtpositiver Schnittkrummung muss das im Allgemeinen nicht der Fall sein Literatur BearbeitenBenedetti Riccardo Petronio Carlo Lectures on hyperbolic geometry Universitext Berlin etc Springer Verlag 1992 Ratcliffe John G Foundations of hyperbolic manifolds 2nd ed Graduate Texts in Mathematics 149 New York NY Springer ISBN 0 387 33197 2 2006 Ballmann Werner Gromov Mikhael Schroeder Viktor Manifolds of nonpositive curvature Progress in Mathematics 61 Boston Basel Stuttgart Birkhauser 1985 Einzelnachweise Bearbeiten Haagerup Uffe Munkholm Hans J Simplices of maximal volume in hyperbolic n space English Acta Math 147 1 11 1981 Peyerimhoff Norbert Simplices of maximal volume or minimal total edge length in hyperbolic space J Lond Math Soc II Ser 66 No 3 753 768 2002 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ideales Simplex amp oldid 212887314