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Giuga-Zahl

Die Giuga-Zahlen sind nach dem Mathematiker Giuseppe Giuga benannte natürliche Zahlen mit speziellen Eigenschaften. Sie sind im Zusammenhang mit einer von ihm vermuteten Charakterisierung der Primzahlen von Bedeutung. Verwandt zu den Giuga-Zahlen sind die primär pseudovollkommenen Zahlen und die Carmichael-Zahlen.

Giugas Vermutung Bearbeiten

Im Jahr 1950 äußerte G. Giuga die Vermutung, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl sei, wenn

gilt. Für Primzahlen folgt diese Eigenschaft aus dem kleinen Satz von Fermat. Bis heute ist ungeklärt, ob auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt. Es ist also nicht bekannt, ob es auch zusammengesetzte Zahlen mit dieser Eigenschaft gibt. Nach einem Ergebnis aus dem Jahr 1994 müsste eine solche Zahl mehr als 10.000 Dezimalstellen haben.

Giugas Vermutung ist äquivalent zu folgender Aussage: Keine natürliche Zahl ist zugleich Giuga- und Carmichael-Zahl.

Sie ist auch äquivalent zu (Vermutung von Giuga und Takashi Ago): ist genau dann prim falls

mit den Bernoulli-Zahlen .

Definition Bearbeiten

Eine zusammengesetzte Zahl heißt Giuga-Zahl, wenn für alle Primteiler von gilt: teilt .

Die zu den Giuga-Zahlen verwandten Carmichael-Zahlen besitzen eine ähnliche Charakterisierung: Eine zusammengesetzte Zahl heißt Carmichael-Zahl, wenn für alle Primteiler von gilt: teilt .

Äquivalente Charakterisierungen Bearbeiten

Die Giuga-Zahlen lassen sich noch auf weitere Arten charakterisieren: Sei eine zusammengesetzte Zahl und die Menge der Primteiler von . Dann gilt:

  • Die Zahl ist genau dann eine Giuga-Zahl, wenn gilt: .
  • Die Zahl ist genau dann eine Giuga-Zahl, wenn gilt: ist quadratfrei und
  • Die Zahl ist genau dann eine Giuga-Zahl, wenn gilt: .

Dabei bezeichnet die Eulersche φ-Funktion und die Bernoulli-Zahlen.

Beispiele Bearbeiten

Beispiel 1:

Sei

Dann hat die Primteiler und . Es gilt:

Somit ist eine Giuga-Zahl.

Beispiel 2:

Die ersten sieben Giuga-Zahlen lauten:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838 … (Folge A007850 in OEIS)

Die bisher bekannten Giuga-Zahlen Bearbeiten

  • 3 Faktoren:
    • 30 = 2 · 3 · 5
  • 4 Faktoren:
    • 858 = 2 · 3 · 11 · 13
    • 1722 = 2 · 3 · 7 · 41
  • 5 Faktoren:
    • 66.198 = 2 · 3 · 11 · 17 · 59
  • 6 Faktoren:
    • 2.214.408.306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.057
    • 24.423.128.562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 · 4447
  • 7 Faktoren:
    • 432.749.205.173.838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 · 775.807
    • 14.737.133.470.010.574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67.213 · 713.863
    • 550.843.391.309.130.318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61.559 · 29.133.437
  • 8 Faktoren:
    • 244.197.000.982.499.715.087.866.346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.137 · 28.282.147 · 3.892.535.183
    • 554.079.914.617.070.801.288.578.559.178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.259.696.349 · 110.725.121.051
    • 1.910.667.181.420.507.984.555.759.916.338.506 = 2 · 3 · 7 · 43 · 1831 · 138.683 · 2.861.051 · 1.456.230.512.169.437
  • 10 Faktoren:
    • 4.200.017.949.707.747.062.038.711.509.670.656.632.404.195.753.751.630.609.228.764.416.142.557.211.582.098.432.545.190.323.474.818 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.217.342.227 · 1.729.101.023.519 · 8.491.659.218.261.819.498.490.029.296.021 · 58.254.480.569.119.734.123.541.298.976.556.403

Eigenschaften Bearbeiten

  • Alle Giuga-Zahlen sind quadratfrei.
  • Alle Giuga-Zahlen sind abundant.
  • Es existieren nur endlich viele Giuga-Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren.
  • Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Giuga-Zahlen gibt.
  • Alle bekannten Giuga-Zahlen sind gerade. Eine ungerade Giuga-Zahl müsste aus mindestens 14 Primfaktoren bestehen. Da alle Carmichael-Zahlen ungerade sind, wäre auch Giugas Vermutung bewiesen, wenn man beweisen könnte, dass alle Giuga-Zahlen gerade sind.

Literatur Bearbeiten

  • G. Giuga: Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi. Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83:511-528, 1950
  • T. Agoh: On Giuga’s conjecture. Manuscripta Math. 87(4): 501-510, 1995
  • D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein und R. Girgensohn: Giuga's Conjecture on Primality. Amer. Math. Monthly 103:40-50, 1996
  • Sorini L. "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga", Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, n. 68, Ottobre (2001) ISSN 1720-9668.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Giuga Zahlen sind nach dem Mathematiker Giuseppe Giuga benannte naturliche Zahlen mit speziellen Eigenschaften Sie sind im Zusammenhang mit einer von ihm vermuteten Charakterisierung der Primzahlen von Bedeutung Verwandt zu den Giuga Zahlen sind die primar pseudovollkommenen Zahlen und die Carmichael Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Giugas Vermutung 2 Definition 3 Aquivalente Charakterisierungen 4 Beispiele 5 Die bisher bekannten Giuga Zahlen 6 Eigenschaften 7 LiteraturGiugas Vermutung BearbeitenIm Jahr 1950 ausserte G Giuga die Vermutung dass eine naturliche Zahl n displaystyle n nbsp genau dann eine Primzahl sei wenn k 1 n 1 k n 1 1 mod n displaystyle sum k 1 n 1 k n 1 equiv 1 pmod n nbsp gilt Fur Primzahlen folgt diese Eigenschaft aus dem kleinen Satz von Fermat Bis heute ist ungeklart ob auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt Es ist also nicht bekannt ob es auch zusammengesetzte Zahlen mit dieser Eigenschaft gibt Nach einem Ergebnis aus dem Jahr 1994 musste eine solche Zahl mehr als 10 000 Dezimalstellen haben Giugas Vermutung ist aquivalent zu folgender Aussage Keine naturliche Zahl ist zugleich Giuga und Carmichael Zahl Sie ist auch aquivalent zu Vermutung von Giuga und Takashi Ago n displaystyle n nbsp ist genau dann prim falls n B n 1 1 mod n displaystyle nB n 1 equiv 1 pmod n nbsp mit den Bernoulli Zahlen B n displaystyle B n nbsp Definition BearbeitenEine zusammengesetzte Zahl n displaystyle n nbsp heisst Giuga Zahl wenn fur alle Primteiler p displaystyle p nbsp von n displaystyle n nbsp gilt p displaystyle p nbsp teilt n p 1 displaystyle frac n p 1 nbsp Die zu den Giuga Zahlen verwandten Carmichael Zahlen besitzen eine ahnliche Charakterisierung Eine zusammengesetzte Zahl heisst Carmichael Zahl wenn fur alle Primteiler p displaystyle p nbsp von n displaystyle n nbsp gilt p 1 displaystyle p 1 nbsp teilt n p 1 displaystyle frac n p 1 nbsp Aquivalente Charakterisierungen BearbeitenDie Giuga Zahlen lassen sich noch auf weitere Arten charakterisieren Sei n displaystyle n nbsp eine zusammengesetzte Zahl und P displaystyle P nbsp die Menge der Primteiler von n displaystyle n nbsp Dann gilt Die Zahl n displaystyle n nbsp ist genau dann eine Giuga Zahl wenn gilt k 1 n 1 k f n 1 mod n displaystyle sum k 1 n 1 k varphi n equiv 1 pmod n nbsp Die Zahl n displaystyle n nbsp ist genau dann eine Giuga Zahl wenn gilt n displaystyle n nbsp ist quadratfrei und p P 1 p p P 1 p N displaystyle sum p in P frac 1 p prod p in P frac 1 p in mathbb N nbsp Dies zeigt die enge Beziehung der Giuga Zahlen zu den primar pseudovollkommenen Zahlen die durch p P 1 p p P 1 p 1 displaystyle sum p in P frac 1 p prod p in P frac 1 p 1 nbsp charakterisiert sind Die Zahl n displaystyle n nbsp ist genau dann eine Giuga Zahl wenn gilt n B f n 1 mod n displaystyle nB varphi n equiv 1 pmod n nbsp Dabei bezeichnet f displaystyle varphi nbsp die Eulersche f Funktion und B displaystyle B nbsp die Bernoulli Zahlen Beispiele BearbeitenBeispiel 1 Sei n 30 displaystyle n 30 nbsp Dann hat n displaystyle n nbsp die Primteiler p 2 3 displaystyle p 2 3 nbsp und 5 displaystyle 5 nbsp Es gilt p 2 teilt n p 1 30 2 1 15 1 14 p 3 teilt n p 1 30 3 1 10 1 9 p 5 teilt n p 1 30 5 1 6 1 5 displaystyle begin aligned p 2 amp quad text teilt amp frac n p 1 frac 30 2 1 amp amp 15 1 amp amp 14 p 3 amp quad text teilt amp frac n p 1 frac 30 3 1 amp amp 10 1 amp amp 9 p 5 amp quad text teilt amp frac n p 1 frac 30 5 1 amp amp 6 1 amp amp 5 end aligned nbsp Somit ist n 30 displaystyle n 30 nbsp eine Giuga Zahl Beispiel 2 Die ersten sieben Giuga Zahlen lauten 30 858 1722 66198 2214408306 24423128562 432749205173838 Folge A007850 in OEIS Die bisher bekannten Giuga Zahlen Bearbeiten3 Faktoren 30 2 3 5 4 Faktoren 858 2 3 11 13 1722 2 3 7 41 5 Faktoren 66 198 2 3 11 17 59 6 Faktoren 2 214 408 306 2 3 11 23 31 47 057 24 423 128 562 2 3 7 43 3041 4447 7 Faktoren 432 749 205 173 838 2 3 7 59 163 1381 775 807 14 737 133 470 010 574 2 3 7 71 103 67 213 713 863 550 843 391 309 130 318 2 3 7 71 103 61 559 29 133 437 8 Faktoren 244 197 000 982 499 715 087 866 346 2 3 11 23 31 47 137 28 282 147 3 892 535 183 554 079 914 617 070 801 288 578 559 178 2 3 11 23 31 47 059 2 259 696 349 110 725 121 051 1 910 667 181 420 507 984 555 759 916 338 506 2 3 7 43 1831 138 683 2 861 051 1 456 230 512 169 437 10 Faktoren 4 200 017 949 707 747 062 038 711 509 670 656 632 404 195 753 751 630 609 228 764 416 142 557 211 582 098 432 545 190 323 474 818 2 3 11 23 31 47 059 2 217 342 227 1 729 101 023 519 8 491 659 218 261 819 498 490 029 296 021 58 254 480 569 119 734 123 541 298 976 556 403Eigenschaften BearbeitenAlle Giuga Zahlen sind quadratfrei Alle Giuga Zahlen sind abundant Es existieren nur endlich viele Giuga Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren Es ist nicht bekannt ob es unendlich viele Giuga Zahlen gibt Alle bekannten Giuga Zahlen sind gerade Eine ungerade Giuga Zahl musste aus mindestens 14 Primfaktoren bestehen Da alle Carmichael Zahlen ungerade sind ware auch Giugas Vermutung bewiesen wenn man beweisen konnte dass alle Giuga Zahlen gerade sind Literatur BearbeitenG Giuga Su una presumibile proprieta caratteristica dei numeri primi Ist Lombardo Sci Lett Rend A 83 511 528 1950 T Agoh On Giuga s conjecture Manuscripta Math 87 4 501 510 1995 D Borwein J M Borwein P B Borwein und R Girgensohn Giuga s Conjecture on Primality Amer Math Monthly 103 40 50 1996 Sorini L Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga Facolta di Economia Universita degli Studi di Urbino Carlo Bo Quaderni di Economia Matematica e Statistica n 68 Ottobre 2001 ISSN 1720 9668 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Giuga Zahl amp oldid 224237121 Giugas Vermutung