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Fraktionelle Koordinaten In der Kristallographie bilden fraktionelle Koordinaten ein Koordinatensystem bei dem die Kante

Fraktionelle Koordinaten

In der Kristallographie bilden fraktionelle Koordinaten ein Koordinatensystem, bei dem die Kanten einer Einheitszelle als Basisvektoren verwendet werden, um die Position von Atomen darzustellen.

Eine Einheitszelle ist ein Parallelepiped, welches das Kristallgitter erzeugt und über die Längen der drei Kanten a, b, c und die Winkel α, β, γ zwischen je zwei Kanten beschrieben werden kann (siehe Bild).

Definition der Einheitszelle über die Länge der Kanten a, b, c und die Winkel α, β, γ

Umwandlung in kartesische Koordinaten Bearbeiten

Für die Umwandlung von fraktionellen in kartesische Koordinaten nimmt man an, dass das kartesische Koordinatensystem bezüglich der Einheitszelle, bzw. die Einheitszelle bezüglich des kartesischen Koordinatensystems, wie folgt positioniert ist:

  • die Koordinatenursprünge stimmen überein.
  • der Vektor ist parallel zur x-Achse angeordnet.
  • der Vektor liegt in der x-y-Ebene.
  • die Lage des Vektors ergibt sich dann aus den beiden Winkeln α und β, vgl. Bild.

Bezeichnen die fraktionellen Koordinaten eines Punkts, so berechnen sich die kartesischen Koordinaten wie folgt:

Herleitung Bearbeiten

Dabei lassen sich die Elemente der Matrix wie folgt herleiten:

Die erste Spalte entspricht der Definition des Vektors . Da dieser parallel zur x-Achse ausgerichtet ist, entspricht seine Länge dem Werte des ersten Elements, die anderen beiden sind Null.

Für die zweite Spalte ergeben sich über das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und :

und damit:

Die ersten beiden Elemente der dritten Spalte ergeben sich über die Skalarprodukte zwischen den Vektoren und beziehungsweise und , das dritte über die Länge des Vektors mittels Pythagoras:

und damit:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Donald E. Sands: Introduction to Crystallography. Dover Publications, New York 1993, ISBN 0-486-67839-3, S. 7–9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Unit cell definition using parallelepiped with lengths a, b, c and angles between the edges given by α,β,γ (Memento vom 4. Oktober 2008 im Internet Archive)
  3. Michael Polyakov: Fractional to Orthonormal Coordinates Conversion Tutorial. Abgerufen am 16. Mai 2015.
  4. Bernhard Rupp: Coordinate system transformation. Abgerufen am 16. Mai 2015.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Kristallographie bilden fraktionelle Koordinaten ein Koordinatensystem bei dem die Kanten einer Einheitszelle als Basisvektoren verwendet werden um die Position von Atomen darzustellen Eine Einheitszelle ist ein Parallelepiped welches das Kristallgitter erzeugt und uber die Langen der drei Kanten a b c und die Winkel a b g zwischen je zwei Kanten beschrieben werden kann siehe Bild 1 Definition der Einheitszelle uber die Lange der Kanten a b c und die Winkel a b g 2 Umwandlung in kartesische Koordinaten BearbeitenFur die Umwandlung von fraktionellen in kartesische Koordinaten nimmt man an dass das kartesische Koordinatensystem bezuglich der Einheitszelle bzw die Einheitszelle bezuglich des kartesischen Koordinatensystems wie folgt positioniert ist die Koordinatenursprunge stimmen uberein der Vektor a displaystyle vec a nbsp ist parallel zur x Achse angeordnet der Vektor b displaystyle vec b nbsp liegt in der x y Ebene die Lage des Vektors c displaystyle vec c nbsp ergibt sich dann aus den beiden Winkeln a und b vgl Bild Bezeichnen x y z displaystyle x y z nbsp die fraktionellen Koordinaten eines Punkts so berechnen sich die kartesischen Koordinaten x y z displaystyle x y z nbsp wie folgt 3 4 x y z a b cos g c cos b 0 b sin g c cos a cos b cos g sin g 0 0 c 1 cos 2 a cos 2 b cos 2 g 2 cos a cos b cos g sin g x y z displaystyle begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix a amp b cos gamma amp c cos beta 0 amp b sin gamma amp c frac cos alpha cos beta cos gamma sin gamma 0 amp 0 amp c frac sqrt 1 cos 2 alpha cos 2 beta cos 2 gamma 2 cos alpha cos beta cos gamma sin gamma end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix nbsp Herleitung Bearbeiten Dabei lassen sich die Elemente der Matrix wie folgt herleiten Die erste Spalte entspricht der Definition des Vektors a displaystyle vec a nbsp Da dieser parallel zur x Achse ausgerichtet ist entspricht seine Lange dem Werte des ersten Elements die anderen beiden sind Null a a 0 0 a 0 0 displaystyle vec a begin pmatrix vec a 0 0 end pmatrix begin pmatrix a 0 0 end pmatrix nbsp Fur die zweite Spalte ergeben sich uber das Skalarprodukt zwischen den Vektoren a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp a b cos a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 1 b cos g displaystyle begin aligned vec a vec b cos sphericalangle vec a vec b amp vec a cdot vec b amp a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 amp a 1 vec b cos gamma end aligned nbsp und damit b b cos g b sin g 0 displaystyle vec b begin pmatrix vec b cos gamma vec b sin gamma 0 end pmatrix nbsp Die ersten beiden Elemente der dritten Spalte ergeben sich uber die Skalarprodukte zwischen den Vektoren a displaystyle vec a nbsp und c displaystyle vec c nbsp beziehungsweise b displaystyle vec b nbsp und c displaystyle vec c nbsp das dritte uber die Lange des Vektors mittels Pythagoras c 1 c cos b displaystyle c 1 vec c cos beta nbsp c 2 c cos a cos b cos g sin g displaystyle c 2 vec c frac cos alpha cos beta cos gamma sin gamma nbsp c 3 c 1 cos 2 a cos 2 b cos 2 g 2 cos a cos b cos g sin g displaystyle c 3 vec c frac sqrt 1 cos 2 alpha cos 2 beta cos 2 gamma 2 cos alpha cos beta cos gamma sin gamma nbsp und damit c c cos b c cos a cos b cos g sin g c 1 cos 2 a cos 2 b cos 2 g 2 cos a cos b cos g sin g displaystyle vec c begin pmatrix vec c cos beta vec c frac cos alpha cos beta cos gamma sin gamma vec c frac sqrt 1 cos 2 alpha cos 2 beta cos 2 gamma 2 cos alpha cos beta cos gamma sin gamma end pmatrix nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Donald E Sands Introduction to Crystallography Dover Publications New York 1993 ISBN 0 486 67839 3 S 7 9 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Unit cell definition using parallelepiped with lengths a b c and angles between the edges given by a b g Archivlink Memento vom 4 Oktober 2008 im Internet Archive Michael Polyakov Fractional to Orthonormal Coordinates Conversion Tutorial Abgerufen am 16 Mai 2015 Bernhard Rupp Coordinate system transformation Abgerufen am 16 Mai 2015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fraktionelle Koordinaten amp oldid 220718867