Unter dem Exponentialansatz versteht man in der Mathematik einenAnsatz zur Losung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten deren Inhomogenitat von exponentieller Struktur ist Die Idee ist dass dann auch eine partikulare Losung von ahnlicher Gestalt wie die Inhomogenitat existiert Durch einen solchen Losungsansatz wird die Differentialgleichung auf ein lineares Gleichungssystem zuruckgefuhrt Die Idee fur diesen Ansatz geht auf Leonhard Euler zuruck Formulierung BearbeitenGegeben sei eine lineare Differentialgleichung y n x k 0 n 1 c k y k x b x displaystyle y n x sum k 0 n 1 c k y k x b x nbsp mit konstanten Koeffizienten c 0 c n 1 C displaystyle c 0 ldots c n 1 in mathbb C nbsp worin die Inhomogenitat die Struktur b x e a i b x k 0 l a k x k a b R a 0 a l C displaystyle b x e alpha i beta x sum k 0 l a k x k alpha beta in mathbb R a 0 ldots a l in mathbb C nbsp besitzt Weiter bezeichne j N 0 displaystyle j in mathbb N 0 nbsp die Nullstellenordnung von a i b displaystyle alpha i beta nbsp bezuglich des charakteristischen Polynoms der zugehorigen homogenen Gleichung x l l n k 0 n 1 c k l k displaystyle chi lambda lambda n sum k 0 n 1 c k lambda k nbsp Dann existiert eine spezielle Losung y s p displaystyle y sp nbsp der Form y s p x e a i b x k j l j b k x k b j b l j C displaystyle y sp x e alpha i beta x sum k j l j b k x k b j ldots b l j in mathbb C nbsp Beispiel BearbeitenMan betrachte die lineare Differentialgleichung y x y x x e i x displaystyle y x y x xe ix nbsp Nun ist i displaystyle i nbsp Nullstelle erster Ordnung des Polynoms x l l 2 1 displaystyle chi lambda lambda 2 1 nbsp Also existiert nach obigem Satz eine spezielle Losung der Gestalt y s p x a x b x 2 e i x displaystyle y sp x ax bx 2 e ix nbsp Aus y s p x a 2 b x e i x i a x b x 2 e i x displaystyle y sp x a 2bx e ix i ax bx 2 e ix nbsp und y s p x 2 b e i x 2 i a 2 b x e i x i 2 a x b x 2 e i x displaystyle y sp x 2be ix 2i a 2bx e ix i 2 ax bx 2 e ix nbsp erhalt man von der Differentialgleichung 2 b 2 a i 4 b i x e i x x e i x displaystyle 2b 2ai 4bix e ix xe ix nbsp Koeffizientenvergleich liefert die bestimmenden Gleichungen 2 b 2 a i 0 4 b i 1 displaystyle 2b 2ai 0 4bi 1 nbsp welches a 1 4 displaystyle a tfrac 1 4 nbsp und b 1 4 i displaystyle b tfrac 1 4 i nbsp impliziert Also ist y s p x 1 4 x i 4 x 2 e i x displaystyle y sp x left frac 1 4 x frac i 4 x 2 right e ix nbsp eine spezielle Losung obiger inhomogener Differentialgleichung Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 5 Auflage Teubner Verlag 1988 ISBN 3 519 42221 2 S 413 428 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Exponentialansatz amp oldid 215298850
