Der Epanechnikov Kern nach W A Jepanetschnikow ist derjenige Kern der fur einen kompakten Trager folgende Eigenschaften erfullt k x 0 displaystyle k x geq 0 fur alle x R displaystyle x in mathbb R k x d x 1 displaystyle int k x mathrm d x 1 x 2 k x d x 1 displaystyle int x 2 k x mathrm d x 1 k 2 x d x displaystyle int k 2 x mathrm d x wird minimiert Zeichnung des Epanechnikov Kerns Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehorigen Kerndichteschatzers Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form a b x 2 displaystyle a bx 2 Wir wollen die numerischen Faktoren a b displaystyle a b des Kerns in Kontext setzen Betrachte dazu zunachst die normierte Familie k n d x displaystyle k n d x deren Terme im Interval d d displaystyle d d eine Hugelform annehmen und welche fur grosse n gegen die rechteckige Verteilung der Hohe 1 2 d displaystyle tfrac 1 2d konvergiert k n d x 1 2 d 1 1 2 n 1 x d 2 n x d 0 x gt d displaystyle k n d x begin cases frac 1 2d left 1 frac 1 2n right left 1 left frac x d right 2n right amp x leq d 0 amp x gt d end cases Fur diese gilt x 2 n k n d x d x d 2 n 4 n 1 displaystyle int infty infty x 2n k n d x mathrm d x frac d 2n 4n 1 Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral fur n 1 displaystyle n 1 auf Eins Fur d 4 1 2 1 displaystyle left tfrac d sqrt 4 1 right 2 1 wahlen wir also k E k 1 5 displaystyle k E k 1 sqrt 5 1 k E x 3 4 5 1 x 2 5 x 5 0 x gt 5 displaystyle k E x begin cases frac 3 4 sqrt 5 left 1 frac x 2 5 right amp x leq sqrt 5 0 amp x gt sqrt 5 end cases Mitunter wird auch der Kern mit d 1 displaystyle d 1 als Epanechnikov Kern bezeichnet der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfullt k E x 3 4 1 x 2 x 1 0 x gt 1 displaystyle k E x begin cases frac 3 4 1 x 2 amp x leq 1 0 amp x gt 1 end cases Weblinks BearbeitenBeweis der Eigenschaften des Epanechnikov Kerns Memento vom 21 Januar 2017 im Internet Archive Quellen Bearbeiten V A Epanechnikov Non Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density In Theory of Probability and its Applications 1969 S 156 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Epanechnikov Kern amp oldid 211434660
