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Devianz Statistik In der Statistik ist die Devianz Abweichung vom Idealwert ein zentrales Maß für die Bewertung der Anpa

Devianz (Statistik)

In der Statistik ist die Devianz (Abweichung vom Idealwert) ein zentrales Maß für die Bewertung der Anpassungsgüte von Schätzungen im linearen Modell und wird oft beim Testen von Hypothesen verwendet. Sie ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der Residuenquadratsumme in der KQ-Regression auf Fälle, in denen die Modellanpassung durch eine Maximum-Likelihood-Schätzung erfolgt. Im Zusammenhang mit der Modellbildung entspricht die Devianz der Summe der Abweichungsquadrate (SQ) bei linearen Regressionsmodellen. Sie spielt eine große Rolle in verallgemeinerten linearen Modellen

Begriffsherkunft

Der Begriff Devianz hat seinen Ursprung der Soziologie und bezeichnet dort die Abweichung (von französisch dévier, deutsch abweichen) von allgemeinen Normen und Wertvorstellungen.

Definition

Die Devianz ist eine Statistik die verwendet wird, um angeben zu können, wie stark die Anpassung eines gerade betrachteten Modells von dem Modell abweicht, das eine perfekte Anpassung an die Daten liefert (sogenanntes gesättigtes Modell). Das gesättigte Modell erlaubt unterschiedliche Regressionsparameter für jedes Individuum. Die Devianz ist gegeben durch

wobei die maximierte partielle Likelihoodfunktion (auch Plausibilitätsfunktion genannt) unter dem aktuellen Modell ist und die maximierte partielle Likelihoodfunktion unter dem gesättigten Modell (Modell in dem genauso viele Parameter wie Beobachtungspaare auftreten) ist. Unter Verwendung der Logarithmengesetze lässt sich die Devianz auch mithilfe eines Likelihood-Quotienten bzw. Plausibilitätsquotienten ausdrücken

Der Vorfaktor ist notwendig, um eine Größe zu erhalten die eine bekannte Verteilung besitzt und daher für Hypothesentests verwendet werden kann. Je kleiner der Wert der Devianz , desto besser das Modell. Für das gesättigte Modell ist die Devianz null. Die Devianz kann als eine Verallgemeinerung der Residuenquadratsumme, die bei normalverteilten Daten verwendet wird, (siehe Klassisches lineares Modell der Normalregression) aufgefasst werden hin zur Analyse von nichtnormalverteilen Daten in verallgemeinerten linearen Modellen. Zu beachten ist, dass ein Unterschied in der Devianz zwischen zwei alternativen Modellen dem Unterschied im Wert der Statistik entspricht.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 834
  2. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 834
  3. David Collett: Modelling survival data in medical research. Chapman and Hall/CRC, 2015. S. 154 ff.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Statistik ist die Devianz Abweichung vom Idealwert ein zentrales Mass fur die Bewertung der Anpassungsgute von Schatzungen im linearen Modell und wird oft beim Testen von Hypothesen verwendet Sie ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der Residuenquadratsumme in der KQ Regression auf Falle in denen die Modellanpassung durch eine Maximum Likelihood Schatzung erfolgt Im Zusammenhang mit der Modellbildung entspricht die Devianz der Summe der Abweichungsquadrate SQ bei linearen Regressionsmodellen Sie spielt eine grosse Rolle in verallgemeinerten linearen Modellen Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsherkunft 2 Definition 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseBegriffsherkunft BearbeitenDer Begriff Devianz hat seinen Ursprung der Soziologie und bezeichnet dort die Abweichung von franzosisch devier deutsch abweichen von allgemeinen Normen und Wertvorstellungen 1 Definition BearbeitenDie Devianz ist eine Statistik die verwendet wird um angeben zu konnen wie stark die Anpassung eines gerade betrachteten Modells von dem Modell abweicht das eine perfekte Anpassung an die Daten liefert sogenanntes gesattigtes Modell Das gesattigte Modell erlaubt unterschiedliche Regressionsparameter fur jedes Individuum Die Devianz ist gegeben durch D 2 log L a log L g displaystyle D 2 left log hat mathcal L a log hat mathcal L g right wobei L a displaystyle hat mathcal L a die maximierte partielle Likelihoodfunktion auch Plausibilitatsfunktion genannt unter dem aktuellen Modell ist und L g displaystyle hat mathcal L g die maximierte partielle Likelihoodfunktion unter dem gesattigten Modell Modell in dem genauso viele Parameter wie Beobachtungspaare auftreten ist Unter Verwendung der Logarithmengesetze lasst sich die Devianz auch mithilfe eines Likelihood Quotienten bzw Plausibilitatsquotienten ausdrucken 2 D 2 log L a L g displaystyle D 2 log left frac hat mathcal L a hat mathcal L g right Der Vorfaktor 2 2 ist notwendig um eine Grosse zu erhalten die eine bekannte Verteilung besitzt und daher fur Hypothesentests verwendet werden kann Je kleiner der Wert der Devianz D D desto besser das Modell Fur das gesattigte Modell ist die Devianz null Die Devianz kann als eine Verallgemeinerung der Residuenquadratsumme die bei normalverteilten Daten verwendet wird siehe Klassisches lineares Modell der Normalregression aufgefasst werden hin zur Analyse von nichtnormalverteilen Daten in verallgemeinerten linearen Modellen Zu beachten ist dass ein Unterschied in der Devianz zwischen zwei alternativen Modellen dem Unterschied im Wert der Statistik 2 log L displaystyle 2 log hat mathcal L entspricht 3 Siehe auch BearbeitenDevianz InformationskriteriumEinzelnachweise Bearbeiten Lothar Sachs Jurgen Hedderich Angewandte Statistik Methodensammlung mit R 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 56657 2 S 834 Lothar Sachs Jurgen Hedderich Angewandte Statistik Methodensammlung mit R 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 56657 2 S 834 David Collett Modelling survival data in medical research Chapman and Hall CRC 2015 S 154 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Devianz Statistik amp oldid 227001315