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Descartes Zahlen In der Zahlentheorie ist eine Descartes Zahl eine ungerade Zahl die eine ungerade vollkommene Zahl wäre

Descartes-Zahlen

In der Zahlentheorie ist eine Descartes-Zahl eine ungerade Zahl, die eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl wäre. Sie sind nach René Descartes benannt, der beobachtete, dass die Zahl eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn eine Primzahl wäre.

Unter der Annahme, dass eine Primzahl ist, gilt nämlich für die Summe der Teiler:

Da keine Primzahl ist, handelt es sich aber um keine ungerade vollkommene Zahl. Es ist eine offene Frage, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt (siehe Artikel Vollkommene Zahl).

Definition Bearbeiten

Eine Descartes-Zahl ist definiert als eine ungerade Zahl , wobei und teilerfremd sind und gilt, wobei als „unechte“ Primzahl angesehen wird. Das oben angegebene Beispiel ist das einzige, das derzeit bekannt ist.

Wenn eine ungerade fast vollkommene Zahl ist, d. h. gilt und als „unechte“ Primzahl angenommen wird, dann ist eine Descartes-Zahl, denn .

Wäre eine Primzahl, wäre eine ungerade vollkommene Zahl.

Eigenschaften Bearbeiten

Banks et al. konnten in 2008 zeigen, dass sich eine nicht durch teilbare und kubikfreie (d. i. eine nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbare Zahl, vgl. quadratfrei) Descartes-Zahl schreiben lässt als für eine ungerade fast vollkommene Zahl und mehr als eine Million verschiedener Primteiler besitzt.

Zudem zeigten sie, dass die von Descartes entdeckte Zahl die einzige kubikfreie Descartes-Zahl ist, die weniger als sieben verschiedene Primteiler besitzt.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Eine Möglichkeit, den Begriff der Descartes-Zahl zu verallgemeinern, besteht darin, auch negative Basen zuzulassen. John Voight fand das Beispiel .

Siehe auch Bearbeiten

  • Erdős-Nicolas-Zahlen, eine andere Art von fast vollkommener Zahl

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Descartes number. Encyclopedia of Mathematics., abgerufen am 20. Mai 2023.
  2. Wiliam D. Banks, Ahmet M. Güloğlu, Wesley C. Nevans, Filip Saidak: Descartes numbers. In: Anatomy of integers. American Mathematical Society. 2008, ISBN 978-0-8218-4406-9 (zbmath.org).
  3. John Voight: On the Nonexistence of Odd Perfect Numbers. (dartmouth.edu [PDF]).
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In der Zahlentheorie ist eine Descartes Zahl eine ungerade Zahl die eine ungerade vollkommene Zahl ware wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl ware Sie sind nach Rene Descartes benannt der beobachtete dass die Zahl D 3 2 7 2 11 2 13 2 22021 3 1001 2 22 1001 1 198585576189 displaystyle D 3 2 cdot 7 2 cdot 11 2 cdot 13 2 cdot 22021 3 cdot 1001 2 cdot 22 cdot 1001 1 198585576189 eine ungerade vollkommene Zahl ware wenn 22021 displaystyle 22021 eine Primzahl ware Unter der Annahme dass 22021 displaystyle 22021 eine Primzahl ist gilt namlich fur die Summe der Teiler s D 3 2 3 1 7 2 7 1 11 2 11 1 13 2 13 1 22021 1 13 3 19 7 19 3 61 22 1001 3 2 7 13 19 2 61 22 7 11 13 2 3 2 7 2 11 2 13 2 19 2 61 2 3 2 7 2 11 2 13 2 22021 2 D displaystyle begin aligned sigma D amp 3 2 3 1 cdot 7 2 7 1 cdot 11 2 11 1 cdot 13 2 13 1 cdot 22021 1 13 cdot 3 cdot 19 cdot 7 cdot 19 cdot 3 cdot 61 cdot 22 cdot 1001 amp 3 2 cdot 7 cdot 13 cdot 19 2 cdot 61 cdot 22 cdot 7 cdot 11 cdot 13 2 cdot 3 2 cdot 7 2 cdot 11 2 cdot 13 2 cdot 19 2 cdot 61 2 cdot 3 2 cdot 7 2 cdot 11 2 cdot 13 2 cdot 22021 2D end aligned Da 22021 19 2 61 displaystyle 22021 19 2 cdot 61 keine Primzahl ist handelt es sich aber um keine ungerade vollkommene Zahl Es ist eine offene Frage ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt siehe Artikel Vollkommene Zahl Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerung 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Descartes Zahl ist definiert als eine ungerade Zahl n m p displaystyle n m cdot p nbsp wobei m displaystyle m nbsp und p displaystyle p nbsp teilerfremd sind und 2 n s m p 1 displaystyle 2n sigma m cdot p 1 nbsp gilt wobei p displaystyle p nbsp als unechte Primzahl angesehen wird 1 Das oben angegebene Beispiel ist das einzige das derzeit bekannt ist Wenn m displaystyle m nbsp eine ungerade fast vollkommene Zahl ist d h s m 2 m 1 displaystyle sigma m 2m 1 nbsp gilt und 2 m 1 displaystyle 2m 1 nbsp als unechte Primzahl angenommen wird dann ist n m 2 m 1 displaystyle n m cdot 2m 1 nbsp eine Descartes Zahl denn s n s m 2 m 1 s m 2 m 2 m 1 2 m 2 n displaystyle sigma n sigma m cdot 2m 1 sigma m cdot 2m 2m 1 cdot 2m 2n nbsp Ware 2 m 1 displaystyle 2m 1 nbsp eine Primzahl ware n displaystyle n nbsp eine ungerade vollkommene Zahl Eigenschaften BearbeitenBanks et al konnten in 2008 zeigen dass sich eine nicht durch 3 displaystyle 3 nbsp teilbare und kubikfreie d i eine nicht durch eine Kubikzahl grosser 1 teilbare Zahl vgl quadratfrei Descartes Zahl n displaystyle n nbsp schreiben lasst als n k s k displaystyle n k sigma k nbsp fur eine ungerade fast vollkommene Zahl k displaystyle k nbsp und mehr als eine Million verschiedener Primteiler besitzt 2 Zudem zeigten sie dass die von Descartes entdeckte Zahl D 3 2 7 2 11 2 13 2 22021 displaystyle D 3 2 cdot 7 2 cdot 11 2 cdot 13 2 cdot 22021 nbsp die einzige kubikfreie Descartes Zahl ist die weniger als sieben verschiedene Primteiler besitzt Verallgemeinerung BearbeitenEine Moglichkeit den Begriff der Descartes Zahl zu verallgemeinern besteht darin auch negative Basen zuzulassen John Voight fand das Beispiel 3 4 7 2 11 2 19 2 127 1 displaystyle 3 4 cdot 7 2 cdot 11 2 cdot 19 2 cdot 127 1 nbsp 3 Siehe auch BearbeitenErdos Nicolas Zahlen eine andere Art von fast vollkommener ZahlEinzelnachweise Bearbeiten Descartes number Encyclopedia of Mathematics abgerufen am 20 Mai 2023 Wiliam D Banks Ahmet M Guloglu Wesley C Nevans Filip Saidak Descartes numbers In Anatomy of integers American Mathematical Society 2008 ISBN 978 0 8218 4406 9 zbmath org John Voight On the Nonexistence of Odd Perfect Numbers dartmouth edu PDF Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Descartes Zahlen amp oldid 234451560