Die Dedekindsche ps Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen Es handelt sich um eine multiplikative Funktion sie ist durch n Z ps n n p n p P 1 1 p displaystyle forall n in mathbb Z colon psi n n cdot prod p n atop p in mathbb P left 1 frac 1 p right definiert Das Produkt erstreckt sich uber alle Primteiler von n displaystyle n Inhaltsverzeichnis 1 Werte 2 Eigenschaften 3 Weblinks 4 QuellenWerte BearbeitenNach Definition des leeren Produkts ist ps 1 1 displaystyle psi 1 1 nbsp Fur die nachsten beiden naturlichen Zahlen ergibt sich ps 2 2 1 1 2 3 displaystyle psi 2 2 left 1 frac 1 2 right 3 nbsp ps 3 3 1 1 3 4 displaystyle psi 3 3 left 1 frac 1 3 right 4 nbsp Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6 6 12 8 12 12 18 12 24 1 Eigenschaften BearbeitenDie ps displaystyle psi nbsp Funktion nimmt nur positive naturliche Zahlen als Werte an Fur alle hinreichend grossen n displaystyle n nbsp ist ps n displaystyle psi n nbsp grosser als n displaystyle n nbsp und gerade ps n gt n f u r a l l e n gt 1 displaystyle psi n gt n qquad qquad qquad mathrm f ddot u r alle n gt 1 nbsp ps n 0 mod 2 f u r a l l e n gt 2 displaystyle psi n equiv 0 mod 2 qquad mathrm f ddot u r alle n gt 2 nbsp dd Fur Primzahlen p displaystyle p nbsp gilt ps p p 1 f p 2 displaystyle psi p p 1 varphi p 2 nbsp dd Dabei ist f displaystyle varphi nbsp die Eulersche Phi Funktion die fur jede positive naturliche Zahl n displaystyle n nbsp die Anzahl f n displaystyle varphi n nbsp der zu n displaystyle n nbsp teilerfremden naturlichen Zahlen angibt die nicht grosser als n displaystyle n nbsp sind Die ps displaystyle psi nbsp Funktion kann auch durchps p k p 1 p k 1 displaystyle psi p k p 1 cdot p k 1 nbsp dd fur Potenzen von Primzahlen p displaystyle p nbsp mit positiven naturlichen Hochzahlen k displaystyle k nbsp und der Festlegung dass ps displaystyle psi nbsp multiplikativ ist charakterisiert werden Der Wert ps n displaystyle psi n nbsp fur ein beliebiges n displaystyle n nbsp ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von n displaystyle n nbsp Mit der Riemannschen Zeta Funktion z displaystyle zeta nbsp gilt n ps n n s z s z s 1 z 2 s displaystyle sum n frac psi n n s frac zeta s zeta s 1 zeta 2s nbsp dd Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Dedekind Function In MathWorld englisch J Chidambaraswamy Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial II In Pacific J Math Vol 65 Nr 1 1976 S 19 27 Quellen Bearbeiten Folge A001615 in OEIS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dedekindsche Psi Funktion amp oldid 208183104
