Die clairautsche Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
und ist somit ein Spezialfall der d’Alembertschen Differentialgleichung. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Alexis-Claude Clairaut benannt.
Bestimmung von einigen Lösungen Bearbeiten
Es gibt zwei Haupttypen von Lösungen der clairautschen Differentialgleichung, die im Folgenden beschrieben werden. Dabei handelt es sich allerdings im Allgemeinen nicht um sämtliche Lösungen dieser Differentialgleichung. Sind nämlich zwei unterschiedliche Lösungen mit und , so ist die Funktion
ebenfalls eine weitere Lösung, die in keine der beiden folgenden Lösungsklassen hineinfällt.
Triviale Geradenlösungen Bearbeiten
Für jedes im Definitionsbereich von sind die Geraden
Lösungen der clairautschen Differentialgleichung.
Nichttriviale Lösungen Bearbeiten
Sei differenzierbar sowie eine differenzierbare Funktion, welche der impliziten Gleichung
genügt. Dann ist
eine Lösung der clairautschen Differentialgleichung.
Beweis Bearbeiten
Für die Geraden gilt , also
Im Fall der nichttrivialen Lösungen gilt
Zusammenhang zwischen beiden Lösungstypen Bearbeiten
Die Tangenten der nichttrivialen Lösungen sind triviale Geradenlösungen.
Beweis Bearbeiten
Die Tangente der nichttrivialen Lösung durch den Punkt ist durch die Gleichung
gegeben. Wenn die nichttriviale Lösung strikt konvex bzw. strikt konkav ist, so trennt sie die Ebene daher in einen Bereich, in dem durch jeden Punkt zwei Geradenlösungen laufen, und einen Bereich, der frei von Lösungen ist; sie wird dann als Einhüllende bezeichnet. Lösungen sind dann nicht nur die Einhüllende selbst und die Geradenlösungen, sondern auch Lösungskurven, die stückweise auf Geraden und stückweise auf der Einhüllenden verlaufen.
Literatur Bearbeiten
- Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage, Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2, § 4.