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Borsuk Vermutung Die ist eine mathematische Vermutung aus dem Bereich der Geometrie Es geht dabei um die Frage in wie vi

Borsuk-Vermutung

Die Borsuk-Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus dem Bereich der Geometrie. Es geht dabei um die Frage, in wie viele Teile man eine gegebene Menge beschränkten Durchmessers zerlegen muss, damit jeder Teil einen echt kleineren Durchmesser hat. Die 1933 von Karol Borsuk gestellte und später als Vermutung bezeichnete Frage, ob man in Dimensionen immer mit Teilen auskommt, wurde 60 Jahre später negativ beantwortet.

Eine Strecke, ein Dreieck und ein Tetraeder können in 2, 3 bzw. 4 kleinere Teile zerlegt werden.

Die Vermutung Bearbeiten

Im n-dimensionalen Raum kann mittels der euklidischen Norm der Durchmesser einer Menge als (maximaler Abstand zweier Punkte der Menge) definiert werden.

Man kann nun versuchen, die Menge so in Teilmengen zu zerlegen, dass jeder Teil einen echt kleineren Durchmesser als hat. Es stellt sich die Frage, wie viele Teilmengen dazu erforderlich sind.

Wie das regelmäßige, n-dimensionale Simplex zeigt, sind im Allgemeinen mindestens Mengen erforderlich, denn die Ecken haben alle denselben Abstand, der gleich dem Durchmesser ist. Eine Teilmenge echt kleineren Durchmessers kann daher höchstens eine Ecke enthalten, das heißt, man benötigt mindestens so viele Teilmengen, wie es Ecken gibt, und davon hat man . Wie nebenstehende Zeichnung für die Dimensionen 1,2 und 3 deutlich macht, kommt man beim Simplex tatsächlich mit Teilmengen aus. Karol Borsuk schloss seine Arbeit „Drei Sätze über die n-dimensionale Sphäre“, in der er sich mit der Zerlegung von Kugeln beschäftigte, wie folgt:

Die Vermutung, dass diese Frage zu bejahen sei, wurde als Borsuk-Vermutung bekannt und blieb 60 Jahre lang offen.

Widerlegung Bearbeiten

Im Raum hatte sich die Vermutung 1955 bestätigt. Es mag daher überraschen, dass sich die Borsuk-Vermutung in höheren Dimensionen als falsch erweist. 1993 haben Jeff Kahn und G. Kalai gezeigt, dass man für genügend große Dimensionen mindestens Teilmengen benötigt, womit die Borsuk-Vermutung widerlegt war, denn wächst schneller als . Ein konkretes Gegenbeispiel wurde von A. Nilli im 964-dimensionalen Raum gefunden, später ein weiteres von A. Hinrichs und C. Richter im 298-dimensionalen Raum. Heute ist bekannt, dass die Borsuk-Vermutung für Dimensionen ab 64 falsch ist. Die Frage nach der kleinsten Dimension, ab der die Borsuk-Vermutung nicht mehr zutrifft, ist offen.

Literatur Bearbeiten

  • M. Aigner, G.M. Ziegler: Das BUCH der Beweise Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42535-7 (3. Auflage: ISBN 978-3-642-02258-6), Kapitel 16

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. K. Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale Sphäre (PDF; 1,1 MB), Fundamenta Mathematica (1933), Band 20, Seiten 177–190
  2. H. G. Eggleston: Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter, J. London Math. Society (1955), Band 30, Seiten 11–24
  3. Kahn, Kalai A Counterexample to Borsuks conjecture, Bulletin American Mathematical Society, Bd. 29, 1993, S. 60–62
  4. A. Nilli: On Borsuk's problem, Jerusalem Combinatorics '93, Contemporary Mathematics 178, AMS 1994, Seiten 209–210
  5. A. Hinrichs and C. Richter: New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math. (2003), Band 270, Seiten 137–147
  6. Andriy V. Bondarenko: On Borsuk's conjecture for two-distance sets
  7. Thomas Jenrich: A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture
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Veröffentlichungsdatum:
Die Borsuk Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus dem Bereich der Geometrie Es geht dabei um die Frage in wie viele Teile man eine gegebene Menge beschrankten Durchmessers zerlegen muss damit jeder Teil einen echt kleineren Durchmesser hat Die 1933 von Karol Borsuk gestellte und spater als Vermutung bezeichnete Frage ob man in n displaystyle n Dimensionen immer mit n 1 displaystyle n 1 Teilen auskommt wurde 60 Jahre spater negativ beantwortet Eine Strecke ein Dreieck und ein Tetraeder konnen in 2 3 bzw 4 kleinere Teile zerlegt werden Inhaltsverzeichnis 1 Die Vermutung 2 Widerlegung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDie Vermutung BearbeitenIm n dimensionalen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp kann mittels der euklidischen Norm der Durchmesser einer Menge E R n displaystyle E subset mathbb R n nbsp als sup x y x y E displaystyle sup x y x y in E nbsp maximaler Abstand zweier Punkte der Menge definiert werden Man kann nun versuchen die Menge E displaystyle E nbsp so in Teilmengen E E 1 E k displaystyle E E 1 cup ldots cup E k nbsp zu zerlegen dass jeder Teil E i displaystyle E i nbsp einen echt kleineren Durchmesser als E displaystyle E nbsp hat Es stellt sich die Frage wie viele Teilmengen E i displaystyle E i nbsp dazu erforderlich sind Wie das regelmassige n dimensionale Simplex zeigt sind im Allgemeinen mindestens n 1 displaystyle n 1 nbsp Mengen erforderlich denn die n 1 displaystyle n 1 nbsp Ecken haben alle denselben Abstand der gleich dem Durchmesser ist Eine Teilmenge echt kleineren Durchmessers kann daher hochstens eine Ecke enthalten das heisst man benotigt mindestens so viele Teilmengen wie es Ecken gibt und davon hat man n 1 displaystyle n 1 nbsp Wie nebenstehende Zeichnung fur die Dimensionen 1 2 und 3 deutlich macht kommt man beim Simplex tatsachlich mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Teilmengen aus Karol Borsuk schloss seine Arbeit Drei Satze uber die n dimensionale Sphare in der er sich mit der Zerlegung von Kugeln beschaftigte wie folgt 1 Die folgende Frage bleibt offen Lasst sich jede beschrankte Teilmenge E des Raumes R n displaystyle R n nbsp in n 1 Mengen zerlegen von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat Die Vermutung dass diese Frage zu bejahen sei wurde als Borsuk Vermutung bekannt und blieb 60 Jahre lang offen Widerlegung BearbeitenIm Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp hatte sich die Vermutung 1955 bestatigt 2 Es mag daher uberraschen dass sich die Borsuk Vermutung in hoheren Dimensionen als falsch erweist 1993 haben Jeff Kahn und G Kalai gezeigt 3 dass man fur genugend grosse Dimensionen n displaystyle n nbsp mindestens 1 2 n displaystyle 1 2 sqrt n nbsp Teilmengen benotigt womit die Borsuk Vermutung widerlegt war denn 1 2 n displaystyle 1 2 sqrt n nbsp wachst schneller als n 1 displaystyle n 1 nbsp Ein konkretes Gegenbeispiel wurde von A Nilli im 964 dimensionalen Raum gefunden 4 spater ein weiteres von A Hinrichs und C Richter im 298 dimensionalen Raum 5 Heute ist bekannt dass die Borsuk Vermutung fur Dimensionen ab 64 falsch ist 6 7 Die Frage nach der kleinsten Dimension ab der die Borsuk Vermutung nicht mehr zutrifft ist offen Literatur BearbeitenM Aigner G M Ziegler Das BUCH der Beweise Springer Berlin 2002 ISBN 3 540 42535 7 3 Auflage ISBN 978 3 642 02258 6 Kapitel 16Einzelnachweise Bearbeiten K Borsuk Drei Satze uber die n dimensionale Sphare PDF 1 1 MB Fundamenta Mathematica 1933 Band 20 Seiten 177 190 H G Eggleston Covering a three dimensional set with sets of smaller diameter J London Math Society 1955 Band 30 Seiten 11 24 Kahn Kalai A Counterexample to Borsuks conjecture Bulletin American Mathematical Society Bd 29 1993 S 60 62 A Nilli On Borsuk s problem Jerusalem Combinatorics 93 Contemporary Mathematics 178 AMS 1994 Seiten 209 210 A Hinrichs and C Richter New sets with large Borsuk numbers Discrete Math 2003 Band 270 Seiten 137 147 Andriy V Bondarenko On Borsuk s conjecture for two distance sets Thomas Jenrich A 64 dimensional two distance counterexample to Borsuk s conjecture Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Borsuk Vermutung amp oldid 220707204