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Binary Symmetric Channel Ein binärer symmetrischer Kanal englisch binary symmetric channel kurz BSC ist ein informations

Binary Symmetric Channel

Ein binärer symmetrischer Kanal (englisch binary symmetric channel, kurz BSC) ist ein informationstheoretischer Kanal, bei dem die Wahrscheinlichkeit einer Falschübermittlung (auch Fehlerwahrscheinlichkeit) von 1 genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit der Falschübermittlung einer 0. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 empfangen wurde, falls eine 0 gesendet wurde und umgekehrt, beträgt die Wahrscheinlichkeit . Für die verbleibenden Fälle, also der korrekten Übermittlung, ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von jeweils :

Schema eines BSC

Dabei gilt , denn falls wäre, könnte der Empfänger alle empfangenen Bits invertieren und würde damit einen äquivalenten Kanal mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von erhalten.

Kapazität Bearbeiten

Die Kanalkapazität des binären symmetrischen Kanals ist

wobei die Entropie der Bernoulli-Verteilung mit Wahrscheinlichkeit ist:

Beweis: Die Kapazität ist definiert als die maximale Transinformation zwischen Eingang und Ausgang für alle möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen am Eingang :

Die Transinformation kann umformuliert werden zu

wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der bedingten Entropie folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit () gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.

In der letzten Zeile ist nur der erste Term von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Bernd Friedrichs: Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.
  • Werner Lütkebohmert: Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen. Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik).
  • Rudolf Mathar: Informationstheorie. Diskrete Modelle und Verfahren, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-519-02574-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: Elements of information theory, S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein binarer symmetrischer Kanal englisch binary symmetric channel kurz BSC ist ein informationstheoretischer Kanal bei dem die Wahrscheinlichkeit einer Falschubermittlung auch Fehlerwahrscheinlichkeit von 1 genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit der Falschubermittlung einer 0 Das heisst die Wahrscheinlichkeit dass eine 1 empfangen wurde falls eine 0 gesendet wurde und umgekehrt betragt die Wahrscheinlichkeit p displaystyle p Fur die verbleibenden Falle also der korrekten Ubermittlung ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von jeweils 1 p displaystyle 1 p Schema eines BSC Pr Y 0 X 0 1 p Pr Y 0 X 1 p Pr Y 1 X 0 p Pr Y 1 X 1 1 p displaystyle begin aligned operatorname Pr Y 0 X 0 amp 1 p operatorname Pr Y 0 X 1 amp p operatorname Pr Y 1 X 0 amp p operatorname Pr Y 1 X 1 amp 1 p end aligned Dabei gilt 0 p 1 2 displaystyle 0 leq p leq 1 2 denn falls p gt 1 2 displaystyle p gt 1 2 ware konnte der Empfanger alle empfangenen Bits invertieren und wurde damit einen aquivalenten Kanal mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 1 p 1 2 displaystyle 1 p leq 1 2 erhalten Inhaltsverzeichnis 1 Kapazitat 2 Siehe auch 3 Literatur 4 Einzelnachweise 5 WeblinksKapazitat BearbeitenDie Kanalkapazitat des binaren symmetrischen Kanals ist C BSC 1 H b p displaystyle C text BSC 1 operatorname H text b p nbsp wobei H b p displaystyle operatorname H text b p nbsp die Entropie der Bernoulli Verteilung mit Wahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp ist H b p p log 2 p 1 p log 2 1 p displaystyle operatorname H text b p p log 2 p 1 p log 2 1 p nbsp Beweis Die Kapazitat ist definiert als die maximale Transinformation zwischen Eingang X displaystyle X nbsp und Ausgang Y displaystyle Y nbsp fur alle moglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen am Eingang p X x displaystyle p X x nbsp C max p X x I X Y displaystyle C max p X x left I X Y right nbsp Die Transinformation kann umformuliert werden zu I X Y H Y H Y X H Y x 0 1 p X x H Y X x H Y x 0 1 p X x H b p H Y H b p displaystyle begin aligned I X Y amp H Y H Y X amp H Y sum x in 0 1 p X x H Y X x amp H Y sum x in 0 1 p X x operatorname H text b p amp H Y operatorname H text b p end aligned nbsp wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw der bedingten Entropie folgen Die Entropie am Ausgang bei gegebenem und festem Eingangsbit H Y X x displaystyle H Y X x nbsp gleicht der Entropie der Bernoulli Verteilung was zur dritten Zeile fuhrt welche weiter vereinfacht werden kann In der letzten Zeile ist nur der erste Term H Y displaystyle H Y nbsp von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang p X x displaystyle p X x nbsp abhangig Ausserdem ist von der Entropie einer binaren Zufallsvariable bekannt dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt Die Gleichverteilung am Ausgang kann bedingt durch die Symmetrie des Kanals nur erreicht werden wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt Damit erhalt man C BSC 1 H b p displaystyle C text BSC 1 operatorname H text b p nbsp 1 Siehe auch BearbeitenBinarer AusloschungskanalLiteratur BearbeitenBernd Friedrichs Kanalcodierung Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 ISBN 3 540 59353 5 Werner Lutkebohmert Codierungstheorie Algebraisch geometrische Grundlagen und Algorithmen Vieweg Verlag Braunschweig u a 2003 ISBN 3 528 03197 2 Vieweg Studium Aufbaukurs Mathematik Rudolf Mathar Informationstheorie Diskrete Modelle und Verfahren B G Teubner Verlag Stuttgart 1996 ISBN 978 3 519 02574 0 Einzelnachweise Bearbeiten Thomas M Cover Joy A Thomas Elements of information theory S 187 2 Auflage New York Wiley Interscience 2006 ISBN 978 0471241959 Weblinks BearbeitenVorlesungsskript Kanalcodierung I abgerufen am 22 Januar 2018 Kanalcodierung abgerufen am 22 Januar 2018 SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE abgerufen am 22 Januar 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Binary Symmetric Channel amp oldid 233963903