9j Symbole nach Eugene Wigner dienen dazu vier Drehimpulse in der Quantenmechanik zu koppeln Entsprechend ist das 9j Symbol folgendermassen uber den Umkopplungskoeffizienten definiert 2 j 3 1 2 j 6 1 2 j 7 1 2 j 8 1 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 9 displaystyle sqrt 2j 3 1 2j 6 1 2j 7 1 2j 8 1 begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix langle j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 9 rangle Der Umkopplungskoeffizient auf der rechten Seite transformiert zwischen zwei Basensatze im Einen wird j 1 displaystyle j 1 mit j 2 displaystyle j 2 zu j 3 displaystyle j 3 gekoppelt und j 4 displaystyle j 4 mit j 5 displaystyle j 5 zu j 6 displaystyle j 6 und danach j 3 displaystyle j 3 und j 6 displaystyle j 6 zu j 9 displaystyle j 9 Im Anderen wird j 1 displaystyle j 1 mit j 4 displaystyle j 4 zu j 7 displaystyle j 7 gekoppelt und j 2 displaystyle j 2 mit j 5 displaystyle j 5 zu j 8 displaystyle j 8 und danach j 7 displaystyle j 7 und j 8 displaystyle j 8 zu j 9 displaystyle j 9 j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 9 j 3 j 6 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 9 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 displaystyle j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 9 rangle sum j 3 sum j 6 langle j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 9 rangle j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 rangle 2 j 7 1 2 j 8 1 j 3 j 6 2 j 3 1 2 j 6 1 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 displaystyle sqrt 2j 7 1 2j 8 1 sum j 3 sum j 6 sqrt 2j 3 1 2j 6 1 begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 9 rangle Inhaltsverzeichnis 1 Symmetrien 2 Zuruckfuhrung auf 6j Symbole 3 Spezialfall 4 Orthogonalitatsrelation 5 Literatur 6 WeblinksSymmetrien BearbeitenDas 9j Symbol ist invariant unter Reflexion an seinen Diagonalen und bei gerader Permutation der Reihen oder Spalten j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 j 1 j 4 j 7 j 2 j 5 j 8 j 3 j 6 j 9 j 9 j 6 j 3 j 8 j 5 j 2 j 7 j 4 j 1 j 7 j 4 j 1 j 9 j 6 j 3 j 8 j 5 j 2 displaystyle begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix begin Bmatrix j 1 amp j 4 amp j 7 j 2 amp j 5 amp j 8 j 3 amp j 6 amp j 9 end Bmatrix begin Bmatrix j 9 amp j 6 amp j 3 j 8 amp j 5 amp j 2 j 7 amp j 4 amp j 1 end Bmatrix begin Bmatrix j 7 amp j 4 amp j 1 j 9 amp j 6 amp j 3 j 8 amp j 5 amp j 2 end Bmatrix nbsp Bei ungerader Permutation von Reihen oder Spalten wird mit dem Phasenfaktor 1 S displaystyle 1 S nbsp multipliziert mit S i 1 9 j i displaystyle S sum i 1 9 j i nbsp Beispiel j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 1 S j 4 j 5 j 6 j 1 j 2 j 3 j 7 j 8 j 9 1 S j 2 j 1 j 3 j 5 j 4 j 6 j 8 j 7 j 9 displaystyle begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix 1 S begin Bmatrix j 4 amp j 5 amp j 6 j 1 amp j 2 amp j 3 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix 1 S begin Bmatrix j 2 amp j 1 amp j 3 j 5 amp j 4 amp j 6 j 8 amp j 7 amp j 9 end Bmatrix nbsp Zuruckfuhrung auf 6j Symbole BearbeitenDie 9j Symbole lassen sich als Summen uber Produkte von drei 6j Symbolen ausdrucken j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 x 1 2 x 2 x 1 j 1 j 4 j 7 j 8 j 9 x j 2 j 5 j 8 j 4 x j 6 j 3 j 6 j 9 x j 1 j 2 displaystyle begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix sum x 1 2x 2x 1 begin Bmatrix j 1 amp j 4 amp j 7 j 8 amp j 9 amp x end Bmatrix begin Bmatrix j 2 amp j 5 amp j 8 j 4 amp x amp j 6 end Bmatrix begin Bmatrix j 3 amp j 6 amp j 9 x amp j 1 amp j 2 end Bmatrix nbsp Dabei wird uber alle x displaystyle x nbsp summiert bei denen fur die Faktoren die Dreiecksbedingung erfullt ist siehe 3j Symbol oder 6j Symbol Spezialfall BearbeitenEin Spezialfall ist falls das 9j Symbol proportional einem 6j Symbol ist j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 0 d j 3 j 6 d j 7 j 8 2 j 3 1 2 j 7 1 1 j 2 j 3 j 4 j 7 j 1 j 2 j 3 j 5 j 4 j 7 displaystyle begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp 0 end Bmatrix frac delta j 3 j 6 delta j 7 j 8 sqrt 2j 3 1 2j 7 1 1 j 2 j 3 j 4 j 7 begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 5 amp j 4 amp j 7 end Bmatrix nbsp Orthogonalitatsrelation BearbeitenDie 9j Symbole erfullen die Orthogonalitatsrelation j 7 j 8 2 j 7 1 2 j 8 1 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 7 j 8 j 9 d j 3 j 3 d j 6 j 6 j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 j 6 j 3 j 6 j 9 2 j 3 1 2 j 6 1 displaystyle sum j 7 j 8 2j 7 1 2j 8 1 begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 j 4 amp j 5 amp j 6 j 7 amp j 8 amp j 9 end Bmatrix frac delta j 3 j 3 delta j 6 j 6 begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 end Bmatrix begin Bmatrix j 4 amp j 5 amp j 6 end Bmatrix begin Bmatrix j 3 amp j 6 amp j 9 end Bmatrix 2j 3 1 2j 6 1 nbsp Das triangulare Delta j 1 j 2 j 3 displaystyle begin Bmatrix j 1 amp j 2 amp j 3 end Bmatrix nbsp ist wie bei 3j Symbol definiert und druckt die Einhaltung der Dreiecksbedingung aus Literatur BearbeitenAlan Robert Edmonds Drehimpulse in der Quantenmechanik BI Hochschultaschenbucher 1964 englisches Original Princeton UP 1957 A Messiah Quantenmechanik Band 2 De Gruyter 1985 Anhang CWeblinks BearbeitenWigner 9j Symbol Mathworld Abgerufen von https de wikipedia org w index php title 9j Symbol amp oldid 213464689
