www.wikidata.de-de.nina.az

σ Stetigkeit Die ist in der Mathematik eine Eigenschaft von Mengenfunktionen also Funktionen die nicht Punkte sondern Me

σ-Stetigkeit

Die σ-Stetigkeit ist in der Mathematik eine Eigenschaft von Mengenfunktionen, also Funktionen, die nicht Punkte, sondern Mengen als Argument („Input“) nehmen. Man unterscheidet in σ-Stetigkeit von unten (oder kurz Stetigkeit von unten), σ-Stetigkeit von oben (oder kurz Stetigkeit von oben) und -Stetigkeit. Diese Arten von Stetigkeit spielen eine Rolle in der Stochastik und Maßtheorie, wo sie zu den elementaren Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen und Maßen gehören.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Mengenring auf dem ein Inhalt erklärt ist.

Die Mengenfunktion heißt dann

Sie heißt nun

  • σ-stetig von unten, wenn sie σ-stetig von unten für alle ist.
  • σ-stetig von oben, wenn sie σ-stetig von oben für alle ist.
  • -stetig, wenn sie stetig von oben in der leeren Menge ist.

Die Definitionen übertragen sich identisch auf den spezielleren Standardfall eines Maßes auf einer σ-Algebra.

Bemerkung Bearbeiten

Im Falle von endlichen Mengenfunktionen wie Wahrscheinlichkeitsmaßen und endlichen Maßen kann bei der Definition der σ-Stetigkeit von oben auf das Endlichkeitskriterium verzichtet werden, da immer ist. Im allgemeinen Fall ist dies jedoch nicht möglich. Betrachtet man beispielsweise die Mengenfunktion

definiert durch

das sogenannte Zählmaß ( bezeichnet hier die Menge der Elemente in der Menge ), so ist die Mengenfolge

fallend gegen die leere Menge, aber es ist

Verwendung Bearbeiten

Die Stetigkeit einer Mengenfunktion ist ein wichtiges Hilfsmittel bei vielen Beweisen, da sie es ermöglicht, von der Annäherung der Mengen auf die Annäherung der Funktionswerte zu schließen. Außerdem lassen sich mit ihr äquivalente Charakterisierungen der σ-Additivität von Inhalten angeben und damit Kriterien, unter denen diese Prämaße sind und somit zu Maßen fortgesetzt werden können.

Literatur Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die s Stetigkeit ist in der Mathematik eine Eigenschaft von Mengenfunktionen also Funktionen die nicht Punkte sondern Mengen als Argument Input nehmen Man unterscheidet in s Stetigkeit von unten oder kurz Stetigkeit von unten s Stetigkeit von oben oder kurz Stetigkeit von oben und displaystyle emptyset Stetigkeit Diese Arten von Stetigkeit spielen eine Rolle in der Stochastik und Masstheorie wo sie zu den elementaren Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmassen und Massen gehoren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkung 3 Verwendung 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Mengenring M displaystyle mathcal M nbsp auf dem ein Inhalt m M 0 displaystyle mu mathcal M to 0 infty nbsp erklart ist Die Mengenfunktion m displaystyle mu nbsp heisst dann s stetig von unten in A displaystyle A nbsp wenn fur jede monoton wachsende Mengenfolge A n A displaystyle A n uparrow A nbsp aus M displaystyle mathcal M nbsp immer lim n m A n m A displaystyle lim n to infty mu A n mu A nbsp ist s stetig von oben in A displaystyle A nbsp wenn fur jede monoton fallende Mengenfolge A n A displaystyle A n downarrow A nbsp aus M displaystyle mathcal M nbsp mit m A n lt displaystyle mu A n lt infty nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp immer lim n m A n m A displaystyle lim n to infty mu A n mu A nbsp ist Sie heisst nun s stetig von unten wenn sie s stetig von unten fur alle A M displaystyle A in mathcal M nbsp ist s stetig von oben wenn sie s stetig von oben fur alle A M displaystyle A in mathcal M nbsp ist displaystyle emptyset nbsp stetig wenn sie stetig von oben in der leeren Menge displaystyle emptyset nbsp ist Die Definitionen ubertragen sich identisch auf den spezielleren Standardfall eines Masses auf einer s Algebra Bemerkung BearbeitenIm Falle von endlichen Mengenfunktionen wie Wahrscheinlichkeitsmassen und endlichen Massen kann bei der Definition der s Stetigkeit von oben auf das Endlichkeitskriterium verzichtet werden da immer m X lt displaystyle mu X lt infty nbsp ist Im allgemeinen Fall ist dies jedoch nicht moglich Betrachtet man beispielsweise die Mengenfunktion m P N 0 displaystyle mu mathcal P mathbb N to 0 infty nbsp definiert durch m A A displaystyle mu A A nbsp das sogenannte Zahlmass A displaystyle A nbsp bezeichnet hier die Menge der Elemente in der Menge A displaystyle A nbsp so ist die Mengenfolge A n n n 1 n 2 displaystyle A n n n 1 n 2 dots nbsp fallend gegen die leere Menge aber es ist 0 m lim n m A n displaystyle 0 mu emptyset neq lim n to infty mu A n infty nbsp Verwendung BearbeitenDie Stetigkeit einer Mengenfunktion ist ein wichtiges Hilfsmittel bei vielen Beweisen da sie es ermoglicht von der Annaherung der Mengen auf die Annaherung der Funktionswerte zu schliessen Ausserdem lassen sich mit ihr aquivalente Charakterisierungen der s Additivitat von Inhalten angeben und damit Kriterien unter denen diese Pramasse sind und somit zu Massen fortgesetzt werden konnen Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title S Stetigkeit amp oldid 206476290